Eficiência de uma máquina de Carnot

RKA8JV Bom, eu irei agora introduzir a noção da eficiência de um motor. A eficiência é representada pela letra grega "η" e, apesar de soar mais como a letra ''e'', se parece mais com esse ''n'' esquisito aqui. Bom, essa é a letra grega "η" e isso representa a eficiência. A eficiência aplicada a motores é semelhante ao modo como utilizamos a palavra no nosso dia a dia. Se eu disser o quanto você é eficiente com o seu tempo, você tem 2 horas para fazer uma prova, você pode ser bem eficiente e, em 2 horas, terminar tudo ou não. Ou, se eu disser: ''o quanto você é eficiente com o seu dinheiro?", e dissesse: ''o quanto você conseguiu comprar com os R$ 50,00 que eu lhe dei?'' Portanto, a eficiência de um motor é a mesma coisa, o que conseguiu fazer com as coisas que eu lhe forneci? No mundo dos motores, só definimos a eficiência como o trabalho realizado com a energia que eu forneci a você para fazer esse trabalho. Também podemos usar a palavra rendimento. No nosso mundo de Carnot, bem aqui, isso tudo são coisas que já fizemos antes. Qual era a energia que eu havia fornecido? Bem, a energia que eu havia fornecido a você era a energia que veio desse primeiro reservatório aqui. Lembre-se, quando estivermos movendo as pedras de "A" para "B", nós estamos movendo os seixos para mantê-los como um processo quase estático, para que possamos voltar, se precisarmos, e para que o sistema permaneça em equilíbrio o tempo todo. Se não tivéssemos esse reservatório aqui, a temperatura teria diminuído, pois estamos expandindo o volume e tudo mais, portanto, tínhamos que manter o reservatório aqui. O calor adicionado ao sistema, descobrimos isso diversas vezes, era Q₁, era equivalente ao trabalho que fizemos durante aquele período, portanto, teria sido toda a região sombreada, não apenas o que está dentro do círculo. Mas o calor que forneci era Q₁, depois, você me devolveu calor, quando você realizou o trabalho. O que importa para nós é o calor que nos foi fornecido, portanto, nesse caso o calor seria Q₁. Qual foi o trabalho que você realizou? Bem, o trabalho líquido que você realizou era a área sombreada, era a área dentro do ciclo de Carnot, essa era a nossa definição de eficiência, sempre será uma fração. Às vezes, a eficiência é fornecida como uma porcentagem, onde você apenas sabe: ''isso é 0,56''. Você chamaria isso de 56% de eficácia, e o que é basicamente dizer que você conseguiu transferir 56% da energia térmica que lhe forneceram e transformar isso em um trabalho útil. Isso faz sentido, pelo menos para mim, pois seria definição de eficiência. Agora, vamos ver se é possível explorarmos isso, e ver como a eficiência exploraria algumas das variáveis com as quais estamos lidando no ciclo de Carnot. Qual foi o trabalho que nós realizamos? Bem, sabemos a nossa definição de energia interna. A nossa definição de energia interna foi mais útil que você poderia ter imaginado, para uma equação bastante simples. A mudança na energia interna é o calor líquido aplicado ao sistema menos o trabalho feito pelo sistema. Certo? Agora, ao completar um ciclo Carnot, quando você partir do "A" e fizer todo o caminho inverso até "A" novamente, e de fato é, bom, farei um pouco mais para o lado, você poderia, de fato, prosseguir no sentido inverso do ciclo, mas quando você segue no sentido usado a primeira vez, quando você vai no sentido horário, será um motor de Carnot. Você está fazendo o trabalho e está transferindo o calor de T₁ para T₂. Se seguir na direção contrária do círculo, essencialmente, seria um refrigerador de Carnot, onde você teria trabalho sendo feito por você, e falarei disso daqui a pouco, e você estaria transferindo energia na direção contrária. Isso seria importante para a nossa prova, para mostrar o motivo de o motor de Carnot ser o melhor motor, pelo menos, teoricamente, a partir do ponto de vista da eficiência, se você se importa apenas com a eficiência, enfim. Eu estava falando disso. Para eu completar o ciclo neste diagrama PV e voltar para "A", qual é a alteração na energia interna? A alteração seria zero. A minha energia interna é um estado variável, portanto, a minha alteração na energia interna é zero. A alteração da entropia também seria zero, é outra variável do estado, quando eu sair de "A" e voltar para "A". Portanto, durante o curso desse ciclo, sabemos que a minha alteração na energia interna é zero. Qual é o calor líquido aplicado ao sistema? Bem, aplicamos Q₁ ao sistema, e depois, retiramos Q₂, certo? Nós o fornecemos ao segundo reservatório, nós o transferimos para T₂ no segundo reservatório. Depois, menos o trabalho, e tudo isso é igual a zero. Bom, isto é calor, só para esclarecer, e isto é o calor líquido aplicado ao sistema. Bom, portanto, o trabalho feito pelo sistema, apenas adicionamos "τ" aos dois lados desta equação e verá que "τ" é igual a Q₁ - Q₂. Bom, aí está. Agora, vamos substituir isto aqui, e em vez de escrever "τ" podemos escrever Q₁ - Q₂ como o numerador, na nossa definição de eficiência, e depois o denominador, que ainda é Q₁. Podemos fazer um pequeno cálculo, isso simplifica. Este é o calor que adicionamos ao sistema, portanto, é o calor líquido que aplicamos ao sistema dividido pelo calor que adicionamos a ele. Isto será igual a Q₁/Q₁, que é igual a 1, menos Q₂/Q₁. Novamente, isso é outra definição interessante de eficiência. São manipulações algébricas utilizando a definição de energia interna e qualquer outra coisa. Agora, vamos ver se é possível relacionar a eficiência às nossas temperaturas. Este aqui é o Q₁, portanto, o que era Q₂ e o Q₁? O que eles eram? Bom, qual era o valor absoluto de cada um? Sem olhar os sinais. Quero dizer, sabemos que Q₂ foi transferido para fora do sistema, portanto, se dissermos Q₂ em termos da energia aplicada ao sistema, seria um número negativo. Mas se quiséssemos saber apenas a magnitude de Q₂, o que ele seria? E a magnitude de Q₁? Bem, a magnitude de Q₁, deixe-me desenhar um novo ciclo de Carnot, apenas para uma melhor visualização. Desenharei um pequeno aqui. Essa é a reta do volume, essa é a reta da pressão. PV. Depois, começo aqui em um estado, depois prossigo isotermicamente. Qual seria uma boa cor para a expansão exotérmica? Talvez roxo. Bom, é um tanto, vamos ver, uma expansão isotérmica. Eu estou em uma curva isotérmica aqui, então venho para cá e depois vou para o estado, depois desço para o estado "B", isto é, de "A" para "B". Sabemos que somos uma curva isotérmica. Isto é quanto Q₁ foi adicionado. Isto é uma curva isotérmica. Se a temperatura não mudou, a sua energia interna não mudou, e como eu já disse antes, se sua energia interna for zero, o calor líquido aplicado ao sistema é igual ao trabalho que realizou, eles se anularão. É por isso que o resultado foi zero. Portanto, esse Q₁ que aplicamos ao sistema deve ser igual o trabalho que nós realizamos. O trabalho que fizemos é apenas a área sob essa curva. Bom, já fizemos isso diversas vezes. Por que é a área sob a curva? Porque é um grupo de retângulos de pressão e volume. Depois, você adiciona todos os retângulos em um infinito de retângulos infinitamente estreitos, e obterá a área. O que isso significa? Bom, apenas uma revisão, a pressão vezes o volume era trabalho, certo? Porque estamos expandindo o cilindro, estamos movendo o pistão para cima, estamos fazendo força vezes a distância. Portanto, o Q₁ é igual a integral, a quantidade de trabalho que realizamos, é igual a integral de "V" final. Bom, não deveria ter dito "V" final, é integral de VB, do nosso volume em "B", ou, desculpe-me, do nosso volume em "A" para o nosso volume "B". Estamos começando aqui e vamos para o nosso volume em "B". Estamos usando a integral da pressão. Eu fiz isso diversas, vezes mas farei novamente. Portanto, a pressão, a altura vezes a alteração do volume dV. Voltando para a fórmula do gás ideal, PV é igual a nRT. Bom, divido os dois lados por "V" e terá P = nRT/V. Verá que Q₁ é igual a integral de VA para VB, isso aqui. nRT/V dV. Tudo isso aqui são constantes. Lembre-se, somos uma curva isotérmica, nossa temperatura não está mudando, podemos escrever T₁ aqui, pois essa é a nossa temperatura. Estamos em T₁, estamos em uma curva isotérmica T₁ aqui, pois estamos tangente ao reservatório T₁. Mas isso tudo é uma constante, podemos retirar isso da equação. E depois, já avaliamos isso diversas vezes, portanto, não abordarei a mecânica da integral. Dessa forma, Q₁ é igual aos nossos termos constantes, nRT₁ vezes essa integral definitiva. Tudo o que nos resta na integral é 1/V. A antiderivativa disso é o log natural, depois, os dois limites são avaliados, e obterá o ln(VB) - ln(VA), que é a mesma coisa que o ln (VB/VA). Correto? Isto aqui é Q₁, tudo bem, agora, o que é Q₂? Q₂ era essa parte do ciclo de Carnot, Q₂ é quando saímos de "C" para "D". Então, a magnitude de Q₂ é a área sob esta curva bem aqui. Esse é o trabalho feito para o sistema, e é por isso que subtraímos ele quando queríamos descobrir o trabalho líquido feito pelo sistema. Ficamos com essa área aqui quando você subtraiu isso também, aqui desse lado. Mas, se quiséssemos saber a magnitude de Q₂, apenas pegamos a integral abaixo dessa curva e qual é integral sob a curva? Esse é o calor fora do sistema, o calor que precisava ser empurrado para fora do sistema conforme o trabalho foi feito para ele. A integral, podemos apenas dizer magnitude de Q₂, farei aqui, é igual a, a mesma lógica se aplica, apenas os limites são diferentes. Agora, iremos de, e lembre-se, se nos preocupássemos com a direção, eu diria de VC para VD, mas se quiséssemos saber o valor absoluto dessa área, pois eu quero saber qual é a magnitude, eu poderia ir de VC a VD e simplesmente pegar o valor absoluto dele, ou poderia ir de VD para VC e eu teria uma área positiva. Deixe-me fazer isso. Então, é a integral de VD a VC. Lembre-se: no ciclo fomos de VC a VD, mas eu quero apenas o valor absoluto, quero que isto seja positivo, então, preciso ajustar no sentido contrário, de PdV. Faremos exatamente o mesmo cálculo aqui. Q₂ será igual a nR, dessa vez, a temperatura é T₂, estamos em um reservatório T₂, vezes o log natural, e dessa vez o que será? Vezes o log natural de, em vez de VB/VA será VC/VD. Agora, usaremos essas duas informações, e vamos substituí-las por resultados de eficiência que acabamos de obter. Aprenderemos que você também pode escrever a eficiência de um motor como sendo igual a 1 - Q. Vamos ver isso novamente. 1 - Q₂/Q₁. Vamos substituir Q₂ e Q₁ aqui. Qual o resultado? Você verá que a eficiência do seu motor é igual a 1 menos Q₂, é essa expressão aqui, nRT₂ vezes ln(VC/VD), tudo isso dividido por Q₁, que é este aqui, nRT₁ vezes ln(VA/VB). Podemos fazer um pequeno cancelamento. Obviamente, o ''n'' e o "R" são cancelados, e temos esses logs naturais e tudo mais. Mas eu fiz um vídeo inteiramente dedicado para mostrar que VC/VD = VB/VA. Agora, se soubéssemos que eles são iguais, então isto é igual a isto, portanto, os logs naturais deles são iguais. Então podemos simplesmente dividir. O que nos resta? Bom, nos resta o fato de que a eficiência também pode ser escrita como 1 - T₂/T₁ para um motor de Carnot. Lembre-se: dessa vez, o que fizemos aqui, isso é aplicado a qualquer motor. Isso era apenas um pouco de matemática e a definição de trabalho. Bem, não me aprofundarei muito agora nisso, mas isso é para um motor de Carnot, certo? Porque fizemos um pouco de trabalho aqui que envolvia o ciclo de Carnot. Mas isso é um resultado importante, porque mostraremos que o motor de Carnot, no próximo vídeo, é o motor mais eficiente que pode ser obtido. Bom, olha só, você precisa ter muito cuidado com isso, pois quando dissemos eficiente isso significa entre duas fontes de temperatura. Você não consegue um motor mais eficiente que o motor de Carnot. Agora, não estou dizendo que é um menor motor, ou que é um motor prático, ou que você desejaria usá-lo como fonte de energia para o seu cortador de grama ou avião a jato, estou apenas dizendo que é o motor mais eficiente entre esses dois reservatórios de temperatura. E mostrarei isso no próximo vídeo.