Movimento de um projétil com uma notação diferente

RKA12C Bem-vindos de volta! Agora, eu quero apresentar para vocês uma notação diferente para escrever vetores. Depois, faremos este mesmo problema, ou uma ligeira variação dele, usando a nova notação. Isso é apenas para expô-lo a novos conceitos, para que você não fique confuso caso um professor use uma notação diferente da que eu tenha feito. Então, quando nós fizemos vetores unitários, aprendemos que podemos expressar um vetor em seus componentes "x" e "y". Então, se eu tivesse um vetor... deixe-me escolher um vetor aleatório apenas para lhe mostrar. Se eu tivesse, então, o vetor "a", e ele fosse igual a 2 vezes o vetor unitário "î" mais 3 vezes o vetor unitário "ĵ"... "î" e "ĵ" são vetores unitários. Também podem ser chamados de versores. Como eu sou engenheiro, eu sei disso. Eu era engenheiro antes de virar administrador. Mas outra maneira de se escrever isso... Eu chamo isso de notação de colchetes ou notação de par ordenado, mas você pode escrevê-la assim: nós temos este colchete, este é o componente "x", e este é o componente "y". Uma vez que tem um colchete, você sabe que é um vetor. Mas você desenharia isso da mesma maneira. Tendo isso em conta, vamos fazer o problema que tínhamos acabado de fazer. Eu espero que isso faça sentido para você. É apenas um jeito diferente de escrevê-lo. Em vez de um "î" e um "ĵ", você apenas escreve estes colchetes. Em vez do "+", você coloca uma vírgula. Vou fazer uma ligeira variação. Esta era, na verdade, a segunda parte deste problema. Meu primo deu estes problemas para mim. Eles são muito bons, então, achei que deveria ficar com eles. Então, no problema antigo... Vou desenhar os eixos novamente: este é o eixo "y", este é o eixo "x". Então, no problema antigo, eu comecei com uma bola que estava a 4 metros do chão. Então, vamos dizer que isto é 4. Eu a acerto a 120 metros por segundo em um ângulo de 30 graus. Então, este é um ângulo de 30 graus, assim. É um ângulo de 30 graus em relação à horizontal. E há cerca de 350 metros de distância e 30 metros de altura. É mais ou menos por aí, é 30. Então, o que precisamos fazer é descobrir se a bola consegue passar sobre a cerca. Descobrimos na última vez, quando usamos a notação de vetor unitário, que ela não passa sobre a cerca, mas, neste problema, eu... na segunda parte deste problema, eles disseram que existe uma rajada de vento de 5 metros por segundo para a direita no momento em que eu bato na bola. E você poderia entrar nas complicações de quanto isso acelera a bola ou qual é a resistência do ar na bola, mas, só para simplificar o problema, eles apenas estão dizendo que o componente "x" da velocidade da bola, logo depois de bater nela, aumenta em 5 metros por segundo. Então, vamos voltar e resolver o problema da maneira que fizemos da última vez. Mas vamos usar a notação diferente. Portanto podemos escrever a equação que eu tinha escrito antes: que a posição, em qualquer dado tempo, como uma função de "t", é igual à posição inicial, "Pᵢ", mais a velocidade. Estes são todos vetores. Velocidade inicial vezes "t" mais o vetor de aceleração sobre "2t²". Então, qual é a posição inicial? Agora, vamos usar um pouco da nossa nova notação. A posição inicial, quando eu bati na bola... seu componente "x" é zero, certo? É quase como uma coordenada, e elas não são notações tão diferentes assim. Então, a posição "y" é 4. Fácil! E qual é a sua velocidade inicial? Deixe-me fazer isto. Assim, podemos dividi-la em componentes "x" e "y". O componente "y" é "120 sen(30°)". Então, o componente "x" é "120 cos(30°)". Este é o componente "x" depois que eu bati nela. Mas dizem que existe esta rajada de vento, por isso, vai ser mais 5. Eles dizem que, no momento em que você a acerta, por algum momento, na direção "x", ela acelera um pouco, 5 metros por segundo. Assim, o vetor velocidade... Esta notação é realmente melhor, porque ocupa menos espaço, e você não tem todos estes "î" e "ĵ" e sinais "+" confundindo tudo. Portanto, qual é o vetor velocidade inicial? Qual é o seu componente "x"? É "120 cos(30°)". Cosseno de 30 graus é √3 sobre 2... vezes 120... é 60√3. E, em seguida, você adiciona 5 a ele: 3 vezes √3 vezes 60 mais 5. Isso é 109 metros por segundo. É 108,9, então, apenas vamos dizer 109. Portanto, o componente "x" da velocidade é 109. E o componente "y" era apenas 120 vezes o seno de 30 graus. Bem, o seno de 30 graus é 1/2, então, 60. Oh, desculpe! Estes devem ser colchetes embora algumas pessoas escrevam parênteses aí, porque isto se parece com coordenadas, mas eu gosto de manter isto com colchetes já que você sabe que estes são vetores. E um vetor de posição é realmente a mesma coisa que uma coordenada de posição, mas um vetor de velocidade, obviamente, não é uma coordenada. Qual é o vetor de aceleração? Bem, isto é diretamente para baixo a -32 metros por segundo ao quadrado. Esta é a aceleração da gravidade da Terra. Portanto, o vetor aceleração é igual a... ele não tem componente "x", e seu componente "y" é -32... Então, nosso vetor posição... Eu vou mudar as cores para evitar que as coisas fiquem monótonas. Nosso vetor de posição, estas são pequenas setas ou setas unilaterais, é igual à minha posição inicial, que é "<0, 4>", mais meu vetor de velocidade inicial, "<109, 60>", vezes "t" mais "t²" sobre 2 vezes o meu vetor de aceleração, "<0, -32>". Esse é um jeito um pouco mais limpo de escrever, mas é exatamente o que fizemos quando fizemos isso com vetores unitários. Em vez de escrever "î" e "ĵ", estamos escrevendo apenas os números entre colchetes aqui. Vamos ver se conseguimos simplificar isso. Deixe-me escrever isso em uma cor diferente para que você saiba o que eu estou fazendo. Ok. Então, este é o nosso vetor de posição "t". É igual a 4 mais... Agora, podemos distribuir esse "t", multiplicá-lo por estes dois. ...mais "<109t, 60t>", e podemos distribuir este "t²/2". Isto vezes zero é zero. E isto vezes -32 é "-16t²". Agora, nós podemos somar os vetores. A posição em qualquer "t". Então, vamos somar todos os componentes "x" dos vetores: zero, "109t" e zero. Então, obtemos "109t". E quais são os componentes "y"? Eles são 4 mais "60t" menos "16t²". Definimos o vetor de posição em uma função de qualquer tempo. Agora que eles têm esta nova rajada de vento e nossa velocidade "x" está um pouco mais rápida, vamos ver se conseguimos passar por cima da cerca. Quanto tempo leva para chegar a 350 metros na direção "x"? Este número tem que ser igual a 350. Portanto, temos "109t", tem que ser igual a 350. Então, quanto é 350 dividido por 109? 350 dividido por 109 é igual a 3,2 em segundos. "t", então, é igual a 3,2 segundos. E qual é a altura em 3,2 segundos? Vamos resolver isso. 3,2 vezes 3,2 vezes 16 é igual a 164. Portanto, este é igual a 164. E o que é 60 vezes 3,2? 60 vezes 3,2 é igual a 192. O que nós temos então? Temos 192 mais 4 menos 164 é igual a 32. Assim, o nosso vetor de posição do tempo 3,2 segundos é igual a 350 metros na direção "x" e 32 metros na direção "y". E isto vai passar por cima desta cerca de 30 metros. Nossa bola vai estar 2 metros acima da cerca. Eu espero não o ter confundido muito. Vejo você em breve!