Visualização de potências de números complexos

Começamos nosso estudo sobre números complexos criando um número $i$‍ que satisfaz $i^2=-1$‍, e visualizando-o, mais tarde, ao colocá-lo fora da reta numérica, uma unidade acima de $0$‍. Com as visualizações dadas no último artigo, já podemos ver por que esse ponto no espaço é uma casa tão natural para um número cujo quadrado é $-1$‍.

Veja só, multiplicar por $i$‍ resulta em uma rotação de ${90}^{\circ }$‍ sobre a origem:

Você pode entender isso de duas formas: porque $i$‍ tem valor absoluto igual a $1$‍ e ângulo igual a ${90}^{\circ }$‍, ou porque esta rotação é o único modo de mover a malha quadriculada (fixando $0$‍), o que posiciona $1$‍ no ponto em que $i$‍ começou.

Então, o que acontecerá se multiplicarmos tudo que está no plano por $i$‍ duas vezes?

É o mesmo que uma rotação de ${180}^{\circ }$‍ sobre a origem, que é a multiplicação por $-1$‍. Isso faz muito sentido, pois multiplicar por $i$‍ duas vezes é igual a multiplicar por $i^2$‍, que deve ser igual $-1$‍.

É interessante pensar que, se tivéssemos tentado colocar $i$‍ em algum outro lugar, mantendo ainda sua qualidade característica que determina que $i^2=-1$‍, não teríamos uma visualização tão clara da multiplicação de números complexos.

Vamos nos divertir um pouco mais multiplicando por um número complexo algumas vezes seguidas.

Considere o número $z=1+i\sqrt{3}$‍, cujo valor absoluto é $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍, e cujo ângulo mede ${60}^{\circ }$‍. O que acontecerá se multiplicarmos tudo que está no plano por $z$‍ três vezes seguidas?

Tudo é ampliado em um fator de $2$‍ três vezes, ou seja, tudo é ampliado em um fator de $2^3=8$‍. Assim como tudo é rotacionado em ${60}^{\circ }$‍ três vezes seguidas, isto é, tudo é rotacionado em ${180}^{\circ }$‍. No final das contas, é o mesmo que multiplicar por $-8$‍, logo, $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍.

Também podemos ver isso por meio da álgebra:

Agora, suponha que multipliquemos tudo no plano por $(1+i)$‍ oito vezes seguidas:

Como a magnitude de $1+i$‍ é

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

tudo é ampliado em um fator de $\sqrt{2}$‍ oito vezes, ou seja, por fim, tudo é ampliado em um fator de $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍.

Como o ângulo de $(1+i)$‍ é ${45}^{\circ }$‍, no final das contas tudo é rotacionado em $8\cdot {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍, então, no total, é como se não tivéssemos rotacionado nenhuma vez. Portanto, $(1+i{)}^8=16$‍.

Opcionalmente, podemos ver o mesmo com a álgebra assim

Agora vamos começar a fazer a pergunta inversa: existe um número $z$‍ de modo que, após multiplicar tudo no plano por $z$‍ cinco vezes seguidas, tudo volte ao estado original? Em outras palavras, podemos resolver a equação $z^5=1$‍? Uma resposta simples é $z=1$‍, mas vamos ver se conseguimos encontrar outras respostas.

Primeiramente, a magnitude desse número teria que ser igual a $1$‍, uma vez que se ela fosse maior que $1$‍, o plano continuaria sendo ampliado, e se ela fosse menor que $1$‍, ele continuaria sendo contraído. No entanto, as rotações são um tanto inusitadas, pois é possível voltar ao estado original depois de repetir algumas delas. Em particular, se rotacionar ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ do caminho, como no vídeo abaixo,

e então fazer o mesmo $5$‍ vezes seguidas, você voltará para onde começou.

O número que rotaciona o plano dessa forma é $\cos ({72}^{\circ })+i\mathrm{sen}({72}^{\circ })$‍, já que ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍.

Também existem outras soluções, como rotacionar ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ do caminho:

ou ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ do caminho pelo outro lado:

Na verdade, de uma forma muito bonita, os números que resolvem a equação formam um pentágono perfeito no círculo trigonométrico:

Se analisarmos a equação $z^6=-27$‍, veremos que ela nos pede para encontrar um número complexo $z$‍, de modo que multiplicar por esse número $6$‍ vezes seguidas vai ampliar em um fator de $27$‍, e rotacionar em ${180}^{\circ }$‍, pois o sinal negativo indica uma rotação de ${180}^{\circ }$‍.

Algo que será ampliado em um fator de $27$‍ após $6$‍ aplicações deve ter uma magnitude igual a $\sqrt[6]{\phantom{A}27}=\sqrt{3}$‍, e uma maneira de rotacionar que resulte em ${180}^{\circ }$‍ após $6$‍ aplicações é rotacionar em ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍. Portanto, um número que resolve a equação $z^6=-27$‍ é

No entanto, existem ainda outras respostas! Na verdade, essas respostas formam um hexágono perfeito no círculo com raio $\sqrt{3}$‍:

Você sabe por quê?

Vamos generalizar os dois últimos exemplos. Se você conhecesse os valores $w$‍ e $n$‍ e tivesse que encontrar o valor de $z$‍, como no último exemplo em que $n=6$‍ e $w=-27$‍, primeiro será preciso encontrar a representação polar de $w$‍:

Isso significa que o ângulo de $z$‍ deve ser ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, e sua magnitude deve ser $\sqrt[n]{\phantom{A}r}$‍, pois, assim, multiplicar por $z$‍ um total de $n$‍ vezes seguidas vai rotacionar em $\theta$‍ e dimensionar em $r$‍, assim como $w$‍ faz. Logo,

Para encontrar outras soluções, vamos ter em mente que podemos pensar no ângulo $\theta$‍ como $\theta +2\pi$‍, ou $\theta +4\pi$‍, ou $\theta +2k\pi$‍ para qualquer número inteiro $k$‍, já que tratam-se, todos, do mesmo ângulo. Isso é importante porque pode afetar o valor de ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ se substituirmos $\theta$‍ por $\theta +2\pi k$‍ antes de dividir. Sendo assim, todas as respostas estarão na forma

para algum valor inteiro de $k$‍. Esses valores serão diferentes à medida que $k$‍ variar de $0$‍ até $n-1$‍, mas quando $k=n$‍, podemos notar que o ângulo ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍ é realmente igual a ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, uma vez que eles têm uma rotação completa de diferença. Sendo assim, é possível ver todas as respostas analisando apenas os valores de $k$‍ que variam de $0$‍ a $n-1$‍.