Domínio de funções avançadas

RKA-MP - Bem-vindo à minha apresentação sobre domínio de uma função. O que é o domínio de uma função? O domínio de uma função é o conjunto dos valores que, colocados na função, permitem uma resposta válida. Vamos ver um exemplo. Se eu tomar a função real definida por f(x) = x², eu devo observar que, qualquer número real colocado no lugar de "x", ao ser elevado ao quadrado, permite que eu obtenha um resultado real para a função f(x), de maneira que o domínio dessa função é composto, então, por todos os números reais. Nós escreveríamos domínio entre chaves. Aquilo que vai determinar o domínio. E, eu vou simplesmente dizer que: domínio é todo o número indicado pela letra "x" que é elemento, que pertence ao conjunto dos números reais. Fecha chaves. Veja que, aqui "x", representa exatamente os valores que nós queremos usar na função. Este símbolo pertence, ou é elemento de, "x" é elemento de "R". "R" estilizado indica o conjunto dos números reais. Conjunto dos números reais é aquele conjunto que, grosseiramente falando, envolve todos os números que você conhece. Tem números positivos, negativos, inteiros, fracionários, números decimais. Só não envolve os números complexos, que nós não estamos considerando aqui. Então aqui, neste caso, qualquer número real colocado no lugar de "x", elevado ao quadrado, permite obter o valor da função. Então, o domínio da função contém todos os valores de "x" pertencente ao conjunto dos números reais. Vamos agora examinar um outro exemplo um pouquinho mais elaborado. Uma função real, f(x), definida por 1/x². Qual será o domínio dessa função? Ou seja, quais valores podem ser colocados no lugar de "x", de modo que esta função, tenha uma resposta válida, pensando em números reais. Bem, você sabe que o denominador é que está envolvendo a variável e denominador nunca pode ser zero. Veja, se eu colocar zero no lugar de "x", eu teria f(0) = 1/0². Zero elevado ao quadrado é zero. Então, eu teria 1/0. 1/0 é 1 dividido por zero. Nós sabemos que não existe divisão por zero. Então, nós temos aqui uma situação de indefinição. Como colocar o zero no lugar de "x" nesta função não permite, não nos permite obter uma resposta válida no conjunto os números reais, neste caso, o domínio da função seria composto por todos os valores de "x" que pertencem ao conjunto dos números reais de tal modo que, "tal que" (esta barra indica "tal que") o "x" não pode ser igual a zero, deve ser diferente de zero. Este é o domínio desta função. O zero é o único valor que não pode ser colocado no lugar do "x", de modo a obter uma resposta válida. Bem, mais um exemplo aqui para nós estudarmos um pouquinho, mais interessante. Vamos estudar a função real definida por f(x) é igual à raiz quadrada de x - 3. O que tem de interessante nesta função? É o radical. A variável faz parte do radicando. Então, nós temos, para determinar o domínio, que pensar em que valores de "x" permitem que √x-3 seja calculada. Você já sabe que a raiz quadrada de qualquer número pode ser obtida, desde que esse número não seja negativo. Então, eu tenho que obter valores de "x" que fazem com que esta expressão "x -3" resulte em zero ou um número maior que zero. Nós dizemos, então, aqui que queremos "x - 3" seja maior que ou igual a zero. O que significa que o "x" tem que ser maior que ou igual a 3. Por quê? Se você colocar 3 lugar do "x", 3 - 3 = 0. Se você colocar qualquer número maior que 3 no lugar do "x", 5, 10, 15, -3, vai resultar em um número positivo. Então, esta função está definida. Tem o domínio para os números reais, "x" pertencente ao conjunto dos reais de tal modo que o "x' seja maior que ou igual a 3. Vamos analisar agora um exemplo um pouquinho mais difícil. O que nós poderíamos dizer a respeito da função real definida por f(x) igual a raiz quadrada do módulo, do valor absoluto de "x", menos 3? Por um momento essa expressão e a anterior têm alguma semelhança. Entretanto, o módulo de "x", valor absoluto de "x", faz com que elas sejam diferentes, mas a análise é a mesma. Nós temos, no radicando, módulo de "x" - 3, e o radicando tem que ser maior que ou igual a zero, porque nós não temos raiz quadrada de número negativo, considerando os números reais. Então, nós queremos aqui, para obter os valores de "x" que permitem uma resposta válida para a função, que o módulo de "x" - 3 seja maior que ou igual a zero. O que significa, de maneira análoga a anterior, que o módulo de "x" tem que ser maior que ou igual a 3. Vamos lembrar. Módulo de "x". Se o "x" for um número positivo, o módulo dele é ele mesmo. Por exemplo, o módulo de 7 é 7. Entretanto, se o "x" for um número negativo, o módulo de "x" é o oposto dele. Por exemplo, o módulo de -7 é 7 positivo. Nesse caso, então, para satisfazer aqui esta condição, teríamos que considerar duas situações. O "x" teria que ser menor que ou igual a -3, porque o módulo de -3 é 3. Se eu pegar um número menor, por exemplo, -4. O módulo -4 é 4. Portanto, fica maior que o 3 que eu estou querendo aqui e assim por diante. Ou... "x" maior que ou igual a 3. Módulo de 3 é 3. Módulo de 4 é 4. Satisfaria tudo o que temos aqui. Então, neste caso o domínio desta função é o conjunto de todos os valores de "x" pertencentes aos reais, de tal forma que o "x" seja menor que ou igual a -3, ou o "x" seja maior que ou igual 3. Vamos agora analisar uma situação pouquinho mais difícil, mas que tem relação com a anterior. Imagine a função real definida por f(x) = 1 sobre a raiz quadrada do módulo de "x", menos 3. Neste caso, uma análise parecida com a anterior ajuda, mas temos diferença. Denominador. Denominador pode ser qualquer número? Na verdade, não. Além do radical ter que ter um radicando positivo ou zero, na fração denominador não pode ser zero. Isso quer dizer que |x| - 3 tem que ser estritamente maior que zero. Analisando aqui, como ali acima, é fácil concluir que "x" é menor que -3, ou "x" é maior que 3, porque se o "x" fosse maior que ou igual a 3, ou aqui o sinal de igual, eu teria um zero no denominador. Então, neste caso o domínio vai ser composto por todos os valores de "x" reais, de tal modo que o "x" seja menor que -3. ou "x" seja maior que 3. Vamos considerar uma situação em que a função real é definida por f(x) = 2, se o "x" for um número par. E 1/(x-1) × (x - 2), se "x" é ímpar. Para analisar o domínio dessa função, vamos analisar os possíveis valores de "x" que permitem obter uma resposta válida para a função. Se eu tomar um número par para o "x", por exemplo, tomando 4, f(4 ) = 2. Para qualquer número par, esta função está bem definida. Qualquer número par, faz com que o resultado seja 2. Agora, se eu tomar um número ímpar, eu teria que analisar f(x) = 1/(x - 1) × (x - 2). Denominador não pode ser zero. E, aqui, os valores de "x" que fazem o denominador ser zero, são 1, ou seja, o denominador seria zero se o "x" fosse igual a 1, porque 1 - 1 = 0. Ou se o "x" fosse igual a 2, porque, colocando 2 no lugar do "x", 2 - 2 = 0. Isso faria com que o denominado fosse zero, então nem o 1 e nem o 2 estariam no domínio. Entretanto, 2 é par. Então, 2 para o "x", não é calculado por meio dessa expressão, mas da outra expressão. Então, isso aqui não é problema. O problema é "x = 1" que faz com que seja zero o denominador. Então, neste caso, o domínio da função vai ser igual a todos os valores que eu possa usar lá, exceto 1. Só que "x" pertence a.... Não vamos colocar "R", vamos colocar "Z", o conjunto dos números inteiros, de tal forma que "x" seja diferente de 1. Por que usar "Z"? Porque número par e número ímpar só se define para números inteiros e não para todos reais. É isso aí! Está dito. Bom estudo, até o próximo vídeo.