Como encontrar funções inversas: função do segundo grau (exemplo 2)

RKA - Temos a função "f(x) = (x - 1)² - 2". Restringiram o domínio para quando "x" for menor ou igual a 1, e tem a metade esquerda de uma parábola aqui. Tem uma restrição, então não é uma parábola inteira, e pensem porque isso dificulta o cálculo da inversa. Mas vamos tentar encontrar a inversa; vamos começar igualando "y" à função de "x". Podemos dizer que "y = f(x)" ou que "y = (x - 1)² - 2". Sabemos que é quando "x" for menor ou igual a 1, mas agora temos o valor de "y" em relação a "x". Para encontrar a inversa tem que achar o valor de "x" em relação a "y". E também vamos restringir "y". Olhando o gráfico percebemos que ele está definido para "x" ser maior ou igual a "-2" Então, podemos pôr entre parênteses "y" é maior ou igual a "-2". Esse é o nosso alcance; mas quando trocar os "x" e os "y", será nosso domínio, vamos deixar entre parênteses e encontrar o valor de "x". Só isso para achar a inversa: achar o valor de "x" sem esquecer os domínios e as imagens. Dá para somar 2 aos dois lados da equação, ficamos com "y + 2 = (x - 1)²". "-2 + 2" se anulam, agora, vou trocar para a restrição em "y" porque não está claro se "y" ou "x" é o domínio aqui, mas a gente sabe que, no final do problema, "y" vai ser o domínio. Vamos lá: quando "y" for maior ou igual "-2" (e podemos pôr entre parênteses "x" é menor que 1). Ainda não achamos o valor de nenhum dos dois; vamos manter os dois por aqui. Para achar o valor de "x", você pode querer calcular a raiz quadrada dos dois lados e não estaria totalmente errado, mas é preciso tomar muito cuidado. Talvez ainda não tenha visto isso e é interessante. Queremos que o lado direito seja "x - 1" (esse é nosso objetivo ao calcular a raiz quadrada dos dois lados, só queremos ter "x - 1" aqui). Agora, "x - 1" é um número positivo ou negativo? Restringimos nossos "x" para serem menores que 1. Só lidamos com a situação onde "x" é menor ou igual a 1. Se "x" é menor ou igual a 1, isso é negativo. Então, queremos a raiz quadrada negativa. Deixa eu esclarecer. Se eu pego "-3" e calculo sua raiz quadrada, ela é igual a 9. Se pegamos a raiz quadrada de 9... digamos que calculemos a raiz quadrada dos dois lados, e nosso objetivo, é voltar a -3. Se calcular a raiz quadrada positiva, se calculasse a raiz principal dos dois lados, ficaria com 3 é igual a 3, mas não é o que queremos. A gente quer voltar para -3. Então, queremos calcular a raiz quadrada negativa. Como essa expressão é negativa e a gente quer voltar para essa expressão, queremos voltar a este "x - 1", a gente precisa calcular a raiz quadrada negativa dos dois lados. Todo quadrado perfeito tem uma raiz positiva ou negativa. A raiz principal é positiva, mas queremos a raiz negativa, porque essa expressão vai ser negativa e é isso que queremos encontrar. Vamos calcular a raiz negativa dos dois lados. A raiz quadrada negativa de "y + 2" é igual a... (vou anotar esse passo extra para não confundir)... é igual à raiz quadrada negativa de "(x - 1)²", quando "y" for maior ou igual a "-2", e "x" for menor ou igual a 1. É por isso que queremos a raiz quadrada negativa. Então essa expressão aqui... (vou escrever de novo)... raiz quadrada negativa de "y + 2" é igual a... a raiz quadrada de "(x - 1)²" vai ser igual a "x - 1". "(x - 1)²" é uma quantidade positiva. A raiz negativa é um número negativo cuja raiz quadrada você tem que calcular para chegar a "(x - 1)²". Espero que não tenha ficado muito confuso. Só queremos nos livrar do sinal de raiz quadrada, queremos a versão negativa, e não a positiva, que seria "1 - x". Eu não quero confundir. Aqui, só é preciso achar o valor de "x", e eu vou escrever. Quando "y" for maior ou igual a "-2". Somo 1 aos dois lados, a gente fica com a raiz quadrada negativa de "y + 2 + 1" é igual a "x" quando "y" for maior ou igual a "-2"; ou podemos dizer que "x" é igual à raiz quadrada negativa de "y + 2 + 1" quando "y" for maior ou igual a "-2". Ou, se quiser escrever como função inversa de "y", poderia falar que "f" inversa de "y" é igual a isto ou "f" inversa de "y" é igual à raiz quadrada negativa de "y + 2+ 1" quando "y" for maior ou igual a "-2". Agora, se quisesse em termos de "x"... se quisermos renomear "y" como "x", basta substituir o "y" por "x". Dá para escrever "f" inversa de "x" (só estou renomeando "y") é igual à raiz quadrada negativa de "x + 2 + 1" quando (só estou renomeando "y") "x" for maior ou igual a "-2". Se marcar no gráfico: se começar em "'x = -2", isso é zero, então o ponto (-2, 1) vai estar no nosso gráfico. Então (-2, 1) está no nosso gráfico. Se for para -1, (-1, 0) está no gráfico; (-1, 0) está no nosso gráfico. Depois, se colocasse que "x = 2" aqui, "x = 2" dá 4, a raiz quadrada de 4 é 2, ela vira "-2", então vira (2, -1). Esse ponto está no gráfico. O gráfico da "f' inversa vai ficar assim, mais ou menos assim. Como pode ver, ele é um reflexo da nossa "f(x)" original na reta "y = x" (ao longo da reta "y = x" porque nós, simplesmente, trocamos o "x" pelo "y"). Esse é o problema mais difícil de função inversa que você vai ver em uma aula de pré-cálculo, porque é complicado perceber que precisa calcular a raiz quadrada negativa porque pela restrição de domínio esse valor aqui é negativo. Então, para achá-la, você vai precisar da raiz quadrada negativa. Fui.