Teorema Fundamental da Álgebra

RKA - Então nesse vídeo nós vamos falar sobre teorema fundamental da álgebra. Então deixa eu começar escrevendo aqui teorema... Teorema fundamental, fundamental da álgebra. Da álgebra. E o que o teorema fundamental da álgebra diz para a gente é que se eu tenho um polinômio, que é uma função de "x", se eu tenho um polinômio em função de "x" de, por exemplo, "ax" elevado a "n", ele vai ter essa cara aqui "ax" na "n", "bx" na "n" menos 1. E isso daqui vai, vai, vai para o infinito até que acabe em uma constante que eu vou aqui representar por "k". E o teorema fundamental da álgebra, ele é especial porque ele nos diz que isso daqui, isso daqui possui "n" raízes, "n" raízes, e isso daqui é muito importante para a nossa resolução de questões, seja ela só para achar as raízes ou para achar os gráficos, qual a função significa qual coisa e bem, isso daqui é muito importante. Eu vou mostrar por quê. Vamos supor que a gente tem aqui um gráfico, vou fazer um gráfico aqui de "y" e "x", deixa eu fazer da maneira mais reta possível, eu não sei desenhar gráficos. "y". Aqui "y" e aqui "x". Aí, agora, vamos supor que a gente tenha uma função assim, uma parábola uma função que a gente está muito bem acostumado. Uma parábola tem duas raízes reais porque ela toca aqui nesses dois pontos do eixo "x" e ela é uma função do segundo grau, o que faz bastante sentido ela ser uma função de segundo grau e ter duas raízes porque é isso que o teorema fundamental da álgebra diz. E a gente pode ter também, vamos pegar aqui fazer mais um gráfico, deixa eu fazer ele maior, fazer aqui, ou melhor, ficou muito não reto, deixa eu fazer assim. Agora sim. E aqui eu tenho, por exemplo, o eixo "y", aqui eu tenho e eixo "x", eu posso ter uma função de terceiro grau, por exemplo, que vai ser alguma coisa assim, vai se parecer com isso. E aqui eu tenho terceiro grau, então vou ter três raízes e tenho justamente aqui três raízes, três pontos em que ela toca no eixo "x". Ou, posso ter também uma função de quarto grau que ela faz assim, uma, duas, três, quatro, que ela toca esse eixo "x" quatro vezes, ou seja, ela tem quatro raízes reais. E assim, eu posso ir fazendo isso e vocês vão sempre ver que os polinômios possuem "n" raízes. Mas existe algo que parece ser à parte disso. Vocês podem se perguntar: "tá, mas e quando por exemplo acontecer aquela função que a gente mais para a frente vai se tornar cansado de ver? Aquela função com essa cara daqui? Essa função não vai tocar no eixo "x" então ela viola o teorema fundamental da álgebra?" Não, ela não viola o teorema fundamental da álgebra. Ela ainda assim possui duas raízes, só que as duas raízes não vão ser raízes como a gente está acostumado aqui, raízes no eixo real. Vão ser duas raízes que a gente vai chamar de raízes complexas e a grande sacada de todas essas questões, da maioria delas, é que as raízes complexas sempre vem em par, ou seja, aqui eu vou ter duas raízes complexas, raízes complexas. E eu não preciso ter só, deixa e botar um pouco mais para baixo aqui, eu não preciso ter só raízes, por exemplo, complexas ou só raízes reais na minha função. Eu posso ter, por exemplo, aqui vou fazer uma função do terceiro grau, aqui vem a função, ela faz assim e vai para cima, então eu tenho aqui uma raiz real e também tenho duas raízes complexas. Então, ao mesmo tempo que eu tenho uma raiz real, eu vou ter duas raízes complexas. E eu posso fazer a mesma coisa com uma função, por exemplo, de quarto grau que não vai ter raízes reais. Por exemplo, se não faria mais ou menos uma coisa assim e continuaria para cima, aqui continuaria para cima, essa função teria, por exemplo, quatro raízes complexas, o que parece bastante estranho, mas mais para frente isso vai fazer muito sentido. Então, no mais é isso, espero ter ajudado vocês e até o próximo vídeo.