Aproximação linear de uma função racional

RKA4JL - Temos aqui uma situação em que temos uma certa função, claramente não linear, definida por f(x) igual 1 sobre (x menos 1), parte do gráfico da função está representado aqui, e nós queremos fazer uma aproximação linear para essa função em torno de um certo valor. "Queremos a aproximação linear da função f em torno, digamos, de x igual a -1". Vamos ver aqui no gráfico. Nesta curva verificamos que quando x igual -1, f(-1) é -½, podemos ver aqui no gráfico, ou também fazer os cálculos pela definição da função f(x) igual a 1 sobre (x menos 1). O que nós queremos fazer é uma aproximação linear para esta função e nós vamos fazer isso com a equação da reta tangente ao gráfico dessa função neste ponto. A reta tangente ao gráfico passando por esse ponto é alguma coisa como isso aqui. Observe que quanto mais distante do valor -1 do x nós estivermos na reta tangente, a aproximação fica pior. Entretanto, nas proximidades, nós temos uma aproximação que pode ser considerada razoável. Essencialmente, então, o que nós estamos procurando aqui é a equação da reta tangente ao gráfico que passe por este ponto destacado. Nele o x vale -1 e é justamente em torno desse valor que nós queremos a aproximação. Então vamos lá. Para achar a equação da reta tangente, estamos procurando uma equação do tipo y igual a mx mais b, onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da reta. Também podemos pensar a respeito da equação da reta escrita de outra maneira, y menos y₁ igual ao coeficiente angular m vezes x menos x₁, sendo x e y e x₁ e y₁ coordenadas de pontos que pertencem à reta. A partir dessa equação nós temos que (y menos y₁) sobre (x menos x₁) é igual a m. Mas veja que se x₁ e y₁ são as coordenadas de um ponto que pertence à reta, a inclinação da reta entre qualquer outro ponto dela e o ponto (x₁;y₁) é sempre a mesma. Vamos agora achar o coeficiente angular dessa reta tangente e é aí que a ideia de derivada nos ajuda bastante. Nós temos a função f definida por f(x) (eu vou escrever diferente aqui) igual a (x menos 1)⁻¹ e vou poder usar aqui a regra da potência na derivada e também a regra da cadeia. f'(x), a derivada da função f, vai ficar igual a... Vamos lá, a derivada de x menos 1⁻¹ em relação a x menos 1, usando a regra da potência, o expoente vai para frente multiplicando e nós diminuímos uma unidade naquele expoente. Ficamos com -1 vezes (x menos 1)⁻². Agora vamos multiplicar pela derivada de x menos 1 em relação a x, mas a derivada de x menos 1 em relação a x é 1, certo? A derivada de x é 1, a derivada de -1 é zero. Então essa expressão fica multiplicada 1 e eu nem preciso escrever isso. Vamos agora ver qual é o valor da derivada dessa função quando x vale -1. f'(-1) é igual a -1 sobre... -1 no lugar do x é -1, tudo elevado a 2. Eu escrevi aqui no denominador "elevado a 2" o que seria elevado a -2 no numerador, como escrito na linha de cima. As contas dos parênteses resultam em -2 e -2² dá 4, então f'(-1) é igual a -¼. Então o coeficiente angular da nossa reta tangente é -¼. Vamos agora para a equação da reta. Nós já sabemos que o ponto (-1) para x e quando x é -1, o valor da função é -½, o ponto (-1;-½) pertence à reta tangente, nós já sabemos disso, e a reta tangente tem inclinação de -¼, coeficiente angular de -¼. Então este ponto (-1;-½) pertence ao mesmo tempo à curva que representa a função e à reta tangente. Vamos usar esta informação para escrever a equação da reta. Voltando, então, y menos y₁ vamos considerar que y₁ é o valor -½ porque -½ é a ordenada de um ponto conhecido da reta, que está ali em rosa, então y menos (-½) é igual ao nosso coeficiente angular, que é -¼ vezes (x menos x₁). x₁ vai ser -1, que é a abcissa desse ponto conhecido da reta que estamos usando aqui. Organizando, vamos ficar com y mais ½, aqui menos (-1) já sabemos que vai se tornar +1 e vou distribuir -¼ na multiplicação dos parênteses. Vamos ficar com -¼x menos ¼. Subtraindo ½ dos dois lados para isolar o y ficamos com y igual a -¼x. agora -¼ menos ½ resulta em -¾. -¾ aqui, então. Essa é a equação da reta tangente e o -¾ é o coeficiente linear dela, assim a reta tangente intercepta o eixo das ordenadas, o eixo y, no ponto de ordenada -¾. Enfim, esta equação vai ser uma aproximação linear muito boa para essa função não linear próximo de x igual -1. Enfim, nós podemos usar a equação da reta tangente ao gráfico naquele ponto que nos interessa para fazer uma aproximação linear para aquela função em torno daquele valor determinado. Até o próximo vídeo!