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Introdução à integração por partes

Examinando a regra do produto para derivadas em reverso, obtemos uma ferramenta de integração poderosa. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Neste vídeo, vamos revisar a regra do produto que você aprendeu há algum tempo, e, a partir dela, iremos deduzir a forma para integração por partes, que pode ser vista como uma regra inversa do produto. Digamos que eu comece com uma função que pode ser expressa como o produto de duas outras funções, como por exemplo, f(x) e g(x). Agora, vamos tomar a derivada desta função composta. E só lembrando, a regra do produto vai ser a derivada da primeira função, que eu vou chamar de f'(x), vezes a segunda função, g(x), mais a primeira função, f(x), vezes g'(x), que é derivada da segunda função. Agora, vamos obter antiderivada em ambos os lados da equação. Então, a antderivada aqui do lado esquerdo fica f(x) g(x). E não vamos nos preocupar com a constante agora, podemos ignorá-la por enquanto. Então, isso aqui vai ser igual à antiderivada disso aqui, que é igual à antiderivada de f'(x) g(x) dx mais a antiderivada de f(x) g'(x) dx. Agora, o que eu quero fazer é resolver esta parte bem aqui. Para fazer isso, é só subtrair esta parte em ambos os lados, e aí, eu consigo isolar o que eu quero. Então, vamos lá. Vai ficar assim: f(x) g(x) menos esta parte aqui, f'(x) g(x) dx igual à antiderivada de f(x) g'(x) dx. Bom, eu vou escrever isso aqui ao contrário só para ficar mais claro. Então, a antiderivada de f(x) g'(x) dx é igual a f(x) g(x) menos a antiderivada de f'(x) g(x) dx. Então, essencialmente, esta aqui é a fórmula de integração por partes. Isso aqui nos diz que se nós tivermos uma integral ou uma antiderivada da fórmula f(x) vezes a derivada de alguma outra função, podemos aplicar esta regra aqui. E você pode dizer: "ah, mas isto não é útil, primeiro eu tenho que identificar uma função que possui esta forma, e eu ainda tenho uma integral nisso". Mas o que veremos, no próximo vídeo, é que isso pode simplificar uma porção de funções das quais estamos tentando tomar a antiderivada.