Introdução à continuidade

RKA3JV - Eu quero falar aqui, neste vídeo, sobre continuidade. Continuidade de uma função é um conceito bem simples e bem fácil de ser reconhecido quando a gente vê. Entretanto, eu quero falar um pouco, também, sobre uma definição, digamos, mais rigorosa, mais formal para a continuidade. Quando eu digo que continuidade é um conceito simples para gente reconhecer quando a gente vê, digamos, vamos desenhar algumas funções aqui para a gente exemplificar isto. Então, digamos que eu tenha aqui um eixo "y" e aqui um "x". Então, "x" e "y". Bom, agora eu vou desenhar o gráfico de uma função qualquer. Vamos supor que o gráfico da nossa função seja assim. Então, a gente tem uma função aqui. E esta função está aqui definida neste intervalo de "x = 0" até este certo valor de "x" aqui na frente. Bom, se eu te perguntar, esta função aqui, neste intervalo, é contínua? Aí você vai dizer: não, ela não é contínua! Claramente não é contínua. Por que não é contínua? Porque a função aqui, o gráfico da função, vem vindo aqui e, de repente, ela tem um salto. Ela salta daqui para cá e continua o gráfico nesta parte de cima. Portanto, a gente pode escrever que esta função aqui não é contínua. Então, esta função que a gente desenhou deste jeito aqui, não é contínua. E ela não é contínua por quê? Porque neste valor aqui de "x", para este valor aqui houve um salto, não é? Houve um pulo aqui, a função saltou daqui para cá. Então, aqui tem uma descontinuidade. Descontinuidade. Então, aqui claramente as funções não se tocam, elas não se conectam. Por isso, tem uma descontinuidade. Vamos desenhar uma outra função aqui parecida, mas um pouco diferente. Então, vamos fazer aqui de novo um eixo "y", e aqui eu vou fazer um eixo "x". Vamos fazer uma outra função aqui qualquer. Digamos, essa aqui. Digamos que a nossa função agora faça algo assim. E que a nossa função para este ponto aqui, esteja definida, na verdade, aqui em cima. Então, se eu te perguntar: essa função é contínua neste intervalo que eu desenhei aqui? E aí, você vai dizer não. Claramente, não, porque a função está vindo aqui e quando ela chegar, se aproximar deste valor aqui, ela dá um salto lá para cima. Depois, ela continua, mas houve aqui uma descontinuidade, tem um pedaço aqui que não está conectado no outro, não é? Portanto, este pedaço aqui é onde acontece a nossa descontinuidade. Aqui a gente tem uma descontinuidade. E a esta descontinuidade a gente vai dar o nome de removível. E ela chama removível, embora se possa falar "mas é parecida com aquela lá", também teve um salto. Mas ela é chamada de removível, porque você pode simplesmente acabar com a descontinuidade. Se você definir que a função em vez de valer este ponto aqui, o valor da função vai ser este cara aqui, você acaba com o problema da descontinuidade, não é? Então, por isso que chama descontinuidade removível. Agora, vamos desenhar aqui mais uma. Vamos colocar aqui neste canto mais uma função. Então, aqui eu vou desenhar o nosso eixo "y" e aqui vamos colocar o nosso eixo "x". Bom, digamos, agora, que a gente tenha uma função que se comporte, mais ou menos, desta forma. E aí, eu te pergunto: esta função aqui é uma função contínua, neste intervalo que eu desenhei? Você vai dizer: esta aqui sim é uma função contínua. Você vê que ela não tem nenhum tipo de descontinuidade. Não tem nenhum ponto onde ela salta, onde ela fica desconectada ou onde a gente tem uma descontinuidade removível. Então, aqui a gente pode escrever que essa é uma função contínua, certo? Então, esta é a ideia geral de continuidade. É bem simples mesmo a gente enxergar quando a gente vê isto. Mas a gente está procurando, agora, uma definição, digamos, um pouco mais formal. Como a gente já sabe usar limite, já sabe como definir o limite, a gente pode tentar procurar usar limites para fazer essa definição de continuidade. Então, vamos lá! Já que a gente quer aqui uma definição mais rigorosa, a gente pode usar a definição que a gente conhece deste tipo de limite, não é? A definição ΔƐ é uma definição bem rigorosa, bem formal, que a gente já conhece para limite. É com essa definição, inclusive, que a gente consegue provar, garantir que não só um limite existe, como a gente consegue calcular o valor deste limite. Então, vamos tentar nos apoiar nesta ideia para criar a definição que a gente está procurando de continuidade. Então, vamos desenhar uma função presa no intervalo. Vamos fazer aqui o nosso eixo "y" e vamos fazer aqui o nosso eixo "x". Aqui nós vamos desenhar um intervalo e desenhar uma função para este intervalo. Vamos tomar aqui o intervalo daqui até aqui. E vamos dizer que o nosso gráfico, o gráfico da nossa função seja algo, digamos, assim. Então, eu vou dizer que a função é contínua em um ponto "c", digamos, um ponto interior. Bom, este ponto aqui é interior ao intervalo, porque ele não está aqui nos extremos, não faz parte dos limites aqui. Está no interior do nosso intervalo. Então, vamos escrever isso, que a função vai ser contínua. A nossa função vai ser contínua no ponto interior. Digamos, vamos dar o nome "c". Então, vamos dizer que este ponto aqui é quando "x" é igual a "c". Então, a função vai ser contínua no ponto interior "c", se acontecer o quê? Se o limite de f(x) quando a gente fizer o "x" tender a "c", for igual a f(c), for igual à função aplicada em "c". Então, se a gente fizer aqui o "x" se aproximar de "c", então, a função vai se aproximar aqui de um valor, deste limite aqui. E se este limite for o mesmo valor aqui que f(c), então, a gente vai ter sucesso aqui. Se a gente tiver o limite é igual a f(c), a gente não vai ter problemas de salto de descontinuidade, não é? Vamos observar para ver se estes exemplos aqui que a gente já tinha colocado, se eles passam agora aqui nesta nossa nova definição. Neste nosso primeiro exemplo aqui, será que acontece isto aqui? Será que a gente tem limite de f(x) quando "x" tende a "c" é igual a f(c)? Será que isso é verdade? Vamos ver, então! Primeiro, vamos tentar fazer o limite aqui desta função quando "x" tende a "c". Quando a gente faz aqui, vamos chamar aqui de "c", que é o ponto onde a gente pode ter problema. É o ponto em que a gente suspeita que não seja contínua a função. Bom, quando a gente fizer aqui o "x" tendendo a "c" pela esquerda, você vai ver que a função está tendendo a este ponto aqui. Então, se a gente tiver o limite lateral esquerdo aqui, ele vai ser um valor aqui. E se a gente fizer agora o "x" tender a "c" pela direita, aí você vai vendo que a função vai tendendo aqui para esse ponto. Então, o nosso limite lateral da direita seria este valor aqui. O que acontece é que estes dois valores são diferentes. Logo, a gente tem que o limite de f(x), quando a gente faz o "x" tender a "c" pela esquerda, isso aqui não é igual ao limite de f(x) quando a gente faz o "x" tender para "c" pela direita. Ou seja, isto aqui vai acarretar que o limite de f(x) quando "x" tende a "c", não está nem definido. Não definido. Ele não existe, este limite aqui. Portanto, a gente vai ter que o limite de f(x) quando "x" tende a "c" é diferente aqui de f(c). É diferente por quê? Porque f(c) é um valor, é este valor aqui em cima. Você vai ver que o limite, quando a gente faz o "x" tender a "c" pela direita, até parece ser este valor que de f(c), mas o da esquerda não. Então, se os limites laterais são diferentes, este limite não existe, portanto, não tem como ele ser igual à função aplicada no valor "c". Então, neste caso aqui, foi muito bom isso ter acontecido, porque a gente já desconfiava que este caso era um caso de continuidade. E pela nossa definição aqui é, realmente, um caso de descontinuidade. Agora, aqui neste segundo caso, o que será que acontece quando a gente tenta fazer o limite de f(x) quando "x" tende a "c"? Então, aqui está o nosso ponto problemático. Vamos colocar aqui o "c". A gente vai analisar se a função é contínua ou não. Se a gente fizer o "x" tender a "c" pela esquerda, você vai vendo que a função está se aproximando deste valor aqui. Então, aqui vai ficar o nosso candidato. O limite. Aí, se a gente fizer agora o limite lateral pela direita, quando a gente faz o "x" tender a "c" pela direita, você vai ver que a função está indo também para o mesmo cara. Então, este nosso candidato ao limite, é realmente o limite. Então, o limite lateral à esquerda e o limite lateral à direita são iguais a este valor aqui. Entretanto, o que você vê é que a função não está definida para ser, quando "x = c", ela não está definida aqui neste valor. Ela está definida aqui mais em cima. Então, aqui que está f(c). Logo, claramente, aqui a gente vê que o limite é diferente da função aplicada em "c". O que é muito bom, já que este limite é diferente da função, ele não passa aqui na nossa definição de continuidade. E a gente já sabia que isso aqui, realmente, era um caso de descontinuidade. Agora, no terceiro caso, se a gente pegar aqui um ponto interior qualquer. Digamos, um ponto aqui, você fazendo o limite aqui, tanto pela esquerda quanto pela direita, você vai ver isso aqui vai realmente passar, vai dar certo o limite da função aqui. Quando a gente fizer o "x" tender a este ponto aqui, a este valor aqui. Isto aqui vai, realmente, ser contínuo. O limite da função quando tender a "c", vai ser igual à função aplicada em "c". Então, para estes pontos interiores do intervalo, a gente já está bem resolvido. A gente já tem uma definição que funciona muito bem. Uma definição mais formal que funciona muito bem para a continuidade. Agora, vamos pensar um pouco como é que ficaria a continuidade nos pontos extremos do nosso intervalo. Então, vamos pensar agora na continuidade. Continuidade nos extremos do nosso intervalo. Então, se a gente estiver trabalhando ali na borda, no limite. Então, a gente vai pegar aqui primeiro, digamos, um extremo inferior. Se eu estiver trabalho aqui com o extremo inferior. Digamos que a gente tenha um ponto "c" que seja nosso extremo inferior. Bom, vamos desenhar aqui também uma função. Vamos fazer aqui. Aqui a gente tem o nosso eixo "y" e aqui o nosso eixo "x". A gente tem aqui um intervalo. Vamos pegar o intervalo, digamos, daqui até aqui. Este aqui seja o nosso extremo inferior. Então, aqui eu vou chamar de "c". E aqui vai ser o nosso extremo superior. Então, digamos que o gráfico da nossa função faça algo assim. Vai ser algo mais ou menos assim. Então, repare que, agora, para a gente definir a continuidade aqui, vamos falar aqui como é que eu defino se a função é contínua. Contínua no ponto "c". Se acontecer o quê? Se a gente tiver agora o limite de f(x) quando "x" tende a, repare que eu não posso fazer o "x" tender a "c" pelos dois lados agora, porque a função não está definida aqui antes deste extremo inferior. Portanto, me aproximar de "c" aqui pela esquerda, não vai rolar. Então, o que a gente vai fazer aqui? A gente vai pedir que o limite de f(x), quando "x" tende a "c" pela direita, tem que ser igual ao valor da função aplicada em "c". Portanto, se a gente conseguir garantir que conforme se aproxima de "c" pela direita, se a função aqui também, os valores da função forem se aproximando aqui do valor de f(c). Então, se o limite lateral à direita for igual ao valor do f(c), aí a gente vai ter a noção de continuidade batendo. Então, vai fazer sentido isso aqui. Bom, vamos desenhar um gráfico aqui em que isso não acontece. A gente tem uma descontinuidade aqui, não é? Vamos fazer um exemplo aqui para você ver. Digamos que a gente tenha aqui um outro, uma outra função. Vamos desenhá-la aqui. E como é que a gente faria uma função descontínua na borda, no limite extremo inferior que a gente está trabalhando aqui. Então , vamos pegar aqui nosso intervalo. Aqui a gente tem nosso extremo inferior "c". Aqui a gente tem o nosso extremo superior. Vamos imaginar que a nossa função faça algo assim. A função está definida aqui em cima. E aqui ela faça algo deste tipo assim. Então, neste caso, claramente você percebe que conforme eu me aproximo aqui do "c" pela direita, você vai vendo que a função está tendendo a este valor aqui. Então, aqui está o nosso limite lateral. Aqui pela direita. E a função está definida lá em cima. Então, aqui a gente teria que o limite, a gente tem que o limite de f(x) quando "x" tende a "c" pela direita, é diferente de f(c). Portanto, aqui a gente teria uma função não contínua no extremo inferior. Bom, você pode falar, e o extremo superior? A mesma coisa, não é? Então, se a gente vier a trabalhar agora com o extremo superior, então, trabalhando aqui no extremo superior, a gente vai ter algo parecido. Então, a gente vai ter uma função assim. O nosso eixo "y", aqui a gente tem o nosso eixo "x" e vamos pegar aqui o intervalo. Então, aqui é o nosso extremo inferior e aqui a gente tem o nosso extremo superior. Então, trabalhamos com um ponto aqui. Então, nós vamos dizer que podemos escrever que essa função aqui vai ser, vamos fazer o gráfico da função primeiro. Então, digamos que a função está fazendo algo assim. Então, a gente pode dizer que essa função vai ser contínua em "c". Se acontecer o quê? Vamos colocar aqui, se e somente se. Se acontecer que o limite de f(x) quando "x" tende a "c". Repare que agora é o contrário. A gente não consegue fazer o "x" tender a "c" pela direita, não está definido a partir do "c". O "c" é o nosso limite superior, o extremo superior. Portanto, a gente só consegue fazer o "x" tender a "c" pela esquerda. Então, a gente vai fazer isto aqui pela esquerda. Então, neste caso, a gente trabalhando com o extremo superior, a gente vai querer que o limite de f(x), quando "x" tende a "c", aqui ficou meio borrado, vamos fazer de novo isto aqui. Quando "x" tende a "c" pela esquerda, isto aqui tem que ser igual a f(c). Então, essa aí vai ser a definição que a gente vai usar para os extremos. Bom, então resumindo basicamente o que a gente viu aqui é que continuidade é um conceito assim não muito complicado, até simples para a gente observar quando a gente olha o gráfico aqui. Se a gente perceber que tem um tipo de salto, se a gente perceber que tem um tipo de buraco aqui na função, de modo que o gráfico dela fica claramente assim desconectado, que essas partes ficam sem conexão, ali naquele ponto vai ter uma descontinuidade, a gente já consegue observar que a função não é contínua. Mas a gente conseguiu também avançar um pouco mais. A gente conseguiu usar a definição mais formal, mais rigorosa que a gente já conhece para limite. E a partir dessa definição, a gente criar uma definição mais apurada. Digamos, mais rigorosa para a continuidade.