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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 14: Teorema do confrontoExemplo de teorema do confronto
Um exemplo de aplicação do teorema do confronto. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Os gráficos de f(x), g(x) e h(x)
estão abaixo. Selecione e arraste cartões para
criar uma inequalidade composta que ordene os valores
de f(x), g(x) e h(x) para os valores de x próximos de 2,
mas não no próprio 2. Então, para qualquer um
dos valores de x mostrados aqui, digamos x = 3, vemos que h(3) é o maior,
f(3) é o menor e g(3) está no meio. Isso é verdade para qualquer um dos valores de x mostrados aqui. Se olharmos para x = 1, h(1) é o maior, f(1) é o menor valor,
e g(1) está no meio. Então, para todos os valores de x
que estão sendo mostrados, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). O único lugar em que o igual baseado neste gráfico acontece, parece ser quando
nos aproximamos de x = 2. Parece que todas as funções
estão se aproximando de 1, então é ali que o igual
pode entrar em jogo. Mas vamos continuar a ver
o que devemos fazer depois disso. Então, aqui diz: segue-se que... Em vez de escrever f(x), g(x) e h(x), eles escreveram
as definições dessas funções. Então, vamos nos lembrar:
f(x) é 2 vezes √x-1 - 1, que é a função em azul aqui. Então, em vez de escrever f(x), podemos escrever que 2 vezes √x-1 - 1 ≤ g(x). g(x) era esta expressão racional bem aqui. Então, vamos descer de novo
e colocar essa expressão racional. Isso será menor ou igual h(x), que era, eu acredito, eˣ⁻². Isso está certo? Sim, é eˣ⁻². Então, tudo que nós fizemos
realmente aqui foi substituir f(x), g(x) e h(x)
por suas definições. Isso significa que,
olhando para lim x → 2 dessas diferentes expressões... Então, lim x → 2 desta expressão, será menor ou igual ao
lim x → 2 desta expressão, que é este aqui, que será menor ou igual ao
lim x → 2 desta expressão, que é este bem aqui. Então, dizem: "Finalmente,
o valor do lim x → 2 desta coisa aqui é"... Bem, é aqui que o teorema do confronto
entra em jogo. Só temos que nos lembrar.
Vamos pensar! Podemos encontrar o lim x → 2 disto aqui? O lim x → 2,
vejamos, 2 - 1... Então, estamos tirando
a raiz principal de 2 - 1, que é a raiz principal de 1. Temos 2 vezes 1, -1, então, isto é 1. Isto aqui é elevado a 2 - 2, elevado a 0,
que também é 1. Será ≤ 1. Ele está entre 1 e 1. A única forma de ele estar entre 1 e 1
é se ele for 1. Este é o teorema do confronto em uso aqui. g(x), no domínio em que estamos olhando, nos valores de x
com os quais nos importamos, g(x) ≤ h(x). Ou melhor, f(x) ≤ g(x). Então, tomamos o limite de todas elas quando se aproximavam de 2. Para a função aqui abaixo,
para f(x), ele se aproximou de 1,
como vemos no gráfico bem aqui. A função de baixo, f(x),
tende a 1, h(x) tende a 1, portanto, g(x) também deverá tender a 1. Podemos ver isso no gráfico bem aqui. Mas, de qualquer forma,
podemos verificar nossa resposta para nos sentimos seguros. Bem, nós acertamos!