Exemplo de teorema do confronto

RKA14C Os gráficos de f(x), g(x) e h(x) estão abaixo. Selecione e arraste cartões para criar uma inequalidade composta que ordene os valores de f(x), g(x) e h(x) para os valores de x próximos de 2, mas não no próprio 2. Então, para qualquer um dos valores de x mostrados aqui, digamos x = 3, vemos que h(3) é o maior, f(3) é o menor e g(3) está no meio. Isso é verdade para qualquer um dos valores de x mostrados aqui. Se olharmos para x = 1, h(1) é o maior, f(1) é o menor valor, e g(1) está no meio. Então, para todos os valores de x que estão sendo mostrados, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). O único lugar em que o igual baseado neste gráfico acontece, parece ser quando nos aproximamos de x = 2. Parece que todas as funções estão se aproximando de 1, então é ali que o igual pode entrar em jogo. Mas vamos continuar a ver o que devemos fazer depois disso. Então, aqui diz: segue-se que... Em vez de escrever f(x), g(x) e h(x), eles escreveram as definições dessas funções. Então, vamos nos lembrar: f(x) é 2 vezes √x-1 - 1, que é a função em azul aqui. Então, em vez de escrever f(x), podemos escrever que 2 vezes √x-1 - 1 ≤ g(x). g(x) era esta expressão racional bem aqui. Então, vamos descer de novo e colocar essa expressão racional. Isso será menor ou igual h(x), que era, eu acredito, eˣ⁻². Isso está certo? Sim, é eˣ⁻². Então, tudo que nós fizemos realmente aqui foi substituir f(x), g(x) e h(x) por suas definições. Isso significa que, olhando para lim x → 2 dessas diferentes expressões... Então, lim x → 2 desta expressão, será menor ou igual ao lim x → 2 desta expressão, que é este aqui, que será menor ou igual ao lim x → 2 desta expressão, que é este bem aqui. Então, dizem: "Finalmente, o valor do lim x → 2 desta coisa aqui é"... Bem, é aqui que o teorema do confronto entra em jogo. Só temos que nos lembrar. Vamos pensar! Podemos encontrar o lim x → 2 disto aqui? O lim x → 2, vejamos, 2 - 1... Então, estamos tirando a raiz principal de 2 - 1, que é a raiz principal de 1. Temos 2 vezes 1, -1, então, isto é 1. Isto aqui é elevado a 2 - 2, elevado a 0, que também é 1. Será ≤ 1. Ele está entre 1 e 1. A única forma de ele estar entre 1 e 1 é se ele for 1. Este é o teorema do confronto em uso aqui. g(x), no domínio em que estamos olhando, nos valores de x com os quais nos importamos, g(x) ≤ h(x). Ou melhor, f(x) ≤ g(x). Então, tomamos o limite de todas elas quando se aproximavam de 2. Para a função aqui abaixo, para f(x), ele se aproximou de 1, como vemos no gráfico bem aqui. A função de baixo, f(x), tende a 1, h(x) tende a 1, portanto, g(x) também deverá tender a 1. Podemos ver isso no gráfico bem aqui. Mas, de qualquer forma, podemos verificar nossa resposta para nos sentimos seguros. Bem, nós acertamos!