Regras básicas de derivação

RKA2G- Nós vimos no vídeo passado a regra da potência para derivada de polinômios. Por exemplo, se a gente quisesse calcular a derivada em relação a "x" de "x" elevado a "n", isso seria igual a "n" vezes "x" elevado a n - 1, desde que "n" fosse diferente de zero. De acordo com essa regra,a gente vai pegar este expoente e colocar aqui na frente da variável (da variável que a gente está derivando) e vai subtrair 1 neste expoente. Neste vídeo, a gente vai ver algumas propriedades interessantes a respeito dessa regra. E a primeira coisa que a gente pode ver aqui é um caso em que este "n" seja igual a zero. Por exemplo, vamos supor que a gente queira calcular a derivada em relação a "x" de "x" elevado a "n", em que n = 0. Por exemplo, "x" elevado a zero. Qual seria a derivada neste caso? A gente estaria calculando a derivada em relação a "x". A gente sabe que todo o número elevado a zero é igual a 1. Então, nós estaríamos calculando a derivada de 1. E qual seria a derivada de 1? Para responder a essa pergunta, eu vou traçar um gráfico aqui. Um gráfico de "y" em função de "x". Vamos dizer que a gente queira saber a derivada de 1, ou seja, a inclinação de 1, já que é derivada sempre nos diz a inclinação da reta tangente que passa em um ponto. Então, se a gente quisesse a função y = 1, a gente teria uma reta horizontal aqui. Esta é a função y = f(x), em que essa função é igual a 1. Qual seria a inclinação desta reta horizontal? A inclinação desta reta horizontal é igual a zero, já que ela não está inclinada, ou seja, ela é horizontal. Então, a derivada em relação a "x" de 1, que é uma constante, vai ser igual a zero, já que a inclinação da reta tangente é igual a zero, pois a inclinação desta função é igual a zero. Se a gente quisesse calcular a derivada de outras constantes, a resposta seria a mesma. Por exemplo: se eu tenho aqui a função y = 3, a derivada de "y" em relação a "x", que é igual a y', seria igual a zero. Toda derivada de uma constante sempre vai ser igual a zero. Podemos até colocar essa regra aqui. Todas as vezes que a gente quiser uma derivada em relação a uma variável, em que a gente tem aqui uma constante, isto sendo uma constante, isso vai ser sempre igual a zero. Todas as vezes em que a gente quiser calcular a derivada de uma constante, que é o caso de uma variável "x" elevada a zero, a gente sempre vai ter, como resposta, zero. Agora vamos supor um outro caso. Vamos supor que, agora, a gente queira calcular a derivada em relação a "x" de uma constante multiplicando uma função f(x). Neste caso, a gente pode pegar essa constante e colocar fora da derivada. Assim, a gente teria algo desta forma: teríamos a constante, vezes a derivada em relação a "x" da função f(x). Colocando em outra notação, a gente pode dizer que isto vai ser igual a "a" vezes f'(x), que é a própria derivada da função em relação a "x". Mas para fixar legal essas ideias, vamos fazer um exemplo aqui. Vamos supor que a gente queira saber a derivada em relação a "x" de 2 vezes x⁵. Isto vai ser igual a o quê? A gente pode pegar esta constante e colocar fora da derivada. Então, vamos ter 2 vezes a derivada em relação a "x" desta função. E esta função é o quê? x⁵. Agora a gente pode calcular isto. Vamos ter 2 vezes a derivada em relação a "x" de x⁵, podemos usar a regra da potência. Pegando o expoente e colocando aqui na frente, repetindo o "x" e subtraindo 1 no expoente. Vamos ter 5 - 1, que é igual a 4. Agora a gente pode simplificar isto. 2 vezes 5 vai ser igual a 10. 10 vezes x⁴. Vamos observar agora um terceiro caso. Um caso em que a gente queira calcular a derivada em relação a "x" da soma de duas funções. Por exemplo, de f(x) + g(x). Isto vai ser igual a o quê? Quando a gente quer calcular a derivada da soma de duas funções, isso vai ser igual à soma da derivada dessas funções. Por exemplo, a gente vai pegar a derivada de f(x). Temos aqui a derivada em relação a "x" de f(x), mais a derivada em relação a "x" de g(x). Esta é uma outra propriedade das derivadas. Inclusive, podemos colocar isso como uma outra anotação. A gente pode dizer que a derivada em relação a "x" vai ser: f'(x), mais a derivada em relação a "x" de g(x), que é g'(x). Vamos fazer um exemplo aqui também. Vamos supor que a gente queira calcular a derivada em relação a "x" de x³ + x⁻⁴. Isto vai ser igual à derivada de x³... Qual é a derivada de x³? A gente pode usar a regra da potência. A gente pega este expoente, coloca na frente e subtrai 1 do expoente do "x". 3 - 1 = 2, então, a gente vai ter 3 vezes x². Mais a derivada desta segunda função: x⁻⁴. Qual é derivada desta função? Novamente, a gente usa a regra da potência. A gente pega o expoente, coloca aqui na frente, que neste caso é -4, e multiplica pelo "x" elevado a este expoente menos 1. -4 - 1 = -5. Então, a gente vai ter algo aqui igual a 3x², menos 4x ⁻⁵. Essas são algumas propriedades interessantes que a gente pode ver a respeito da derivada de polinômios. E basicamente, utilizando todas essas ferramentas, você consegue derivar qualquer polinômio em qualquer situação. Para treinar isso legal, vamos ver um exemplo que englobe tudo que a gente viu. Vamos supor que a gente tenha uma função f(x), em que essa função f(x) seja igual a este polinômio: 2x³ - 7x² + 3x - 100. Nós temos este polinômio e o que queremos fazer é derivar este polinômio. Vamos fazer isso utilizando todas as propriedades que a gente viu até agora. Vamos lá. A derivada, ou seja, f'(x) vai ser igual a: derivando este 2x³. A gente sabe que aqui tem uma constante, então, pode jogar essa constante para fora da derivada. Então, só repetindo essa constante, vezes a derivada de x³. A derivada de x³, utilizando a regra da potência, vai ser igual a 3 vezes "x" elevado a 3 - 1, que é 2. Menos a derivada de 7x². Qual é a derivada de 7x²? 7, novamente, é uma constante. A gente coloca para fora da derivada. E a derivada de x² vai ser igual a 2 vezes "x" elevado a 2 - 1, que é 1. Mais 3x, a derivada de 3x. Qual é a derivada de 3x? A gente coloca o 3 para fora aqui, e a derivada de "x" é igual a 1. Então, a gente tem 3 vezes 1. Mais... Qual é a derivada de -100? A derivada de -100 é igual a zero, pelo simples fato de 100 ser uma constante. E a derivada de uma constante é igual a zero. Agora que a gente já calculou esta, derivada, podemos simplificar isto. A derivada f'(x) vai ser igual a: 2 vezes 3 = 6, então, a gente tem 6x², menos 7 vezes 2, que é 14. Vai ser 14x, já que x¹ = x, mais 3 vezes 1, que é 3. A gente não precisa colocar o zero aqui. Então, a derivada desta função, ou seja, f'(x), é igual a 6x² - 14x + 3. Tudo o que você viu neste vídeo, você pode utilizar para resolver as derivadas de praticamente todos os polinômios. Então, guarde bem estas ferramentas, porque elas vão ser muito úteis no futuro.