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digamos que queremos avaliar essa integração indefinida bem aqui e você imediatamente percebe que temos a raiz quadrada de quatro - x ao quadrado no denominador poderíamos tentar utilizar a substituição mas ela realmente não simplificaria isto em qualquer caminho razoável então como podemos lidar com isso esta coisa aqui estas quadrados de quatro - x ao quadrado isso se parece com algo que eu poderia resolver para os catetos no teorema de pitágoras especialmente se o comprimento da hipotenusa é 2 esse seria 2 ao quadrado então o outro lado é xis em seguida dois ao quadrado - x ao quadrado esse seria o comprimento do outro lado bem vamos desenhar isso então então digamos que temos esse triângulo retângulo aqui você pode ter uso de um triângulo retângulo é de comprimento 2 então este lado direito até aqui é de comprimento x sem poder nos voadores esse lado aqui é igual à x logo este lado aqui podemos escrever lo como a raiz quadrada da hipotenusa ao quadrado que seria 2 ao quadrado igual a quatro - esse lado aqui ao quadrado então x a ao quadrado bem então isto é interessante esta é a expressão que tínhamos sacado esta é a intuição que nós tivemos quando vimos isso aqui mas ainda assim como é que é isso nos ajuda bem esse é o lugar onde trigonometria entra porque se nós definimos este ano bem aqui como teta então o que é que sendo e cosseno de teta vão ser em termos desses lados bem vamos ver se cena de teta é igual ao posto sobre poder usa sendo de teta é igual à x sobre dois ou se quisermos resolver isto para x temos então que x igual a 2 c no teta bem isso é interessante e continuando agora para o conselho de teta temos que o cosseno de teta é igual ao lado adjacente sobre poder usa temos então que o conselho a meta é igual ao lado do já sente que é igual a raiz quadrada de quatro - fiz um quadrado dividido pelo poder usa é igual a 2 e se quiser apenas facilitar um pouco as coisas teremos então que a raiz quadrada de quatro - x ao quadrado é igual a 2 cosseno de teta bem então se x é igual a 2 sendo detenta então este outro lado em seguida toda esta expressão simplificada 2 com sendo detecta é isso parece bastante interessante agora então vamos fazer a substituição vamos dizer que x é igual a 2 sendo de teta e xx é igual a 2 sendo de teta então deixe vai ser igual a 2 cosseno tenta de teta logo se nós temos x igual a 2 sendo tenta então que esta coisa bem aqui bem nós apenas descobrimos que esta coisa aqui é 2 cosseno teta então isto aqui é igual a 2 cosseno tenta que nós somos capazes de fazer isto apenas desenhando esse triângulo retângulo e usando a definição dessas funções trigonométricas e agora vamos seguir e vamos ver se podemos avaliar esta expressão usando essa substituição portanto esta vai ser integral indefinida então um vezes de x de x é igual a 2 cosseno tenta detecta então teremos dois cosseno teta vezes detecta / raiz quadrada de quatro - x ao quadrado e isto é igual a 2 com o senado tenta então aqui dois cosseno teta bem isto parece bem simples agora dois cosseno teta / 2 conselho tenta isso será igual a 1 isso simplifica muitas coisas então agora teremos de teta que é se você acabou de avaliar isto isso vai ser igual a neta mas sê bem isso é uma boa condição mas nós ainda não teríamos terminado queremos a ainda a nossa integrarem definida em termos de x então agora vamos resolver para xis aqui então se x é igual a 2 sendo teta x igual a 2 sendo teta então vamos ver dividindo ambos pros dois lados então teremos que x sobre dois é igual a sendo tenta então se você quiser resolver para atleta o ângulo de teta que se você tomar oceano dele você terá então x sobre dois então podemos dizer que para atleta é igual ao inverso do senado o inverso do sena desta coisa aqui x sobre dois nós poderíamos escrever desta forma ou poderíamos escrever que tenta é igual a cosseno logo isso vai ser téta é igual a cosseno dx sobre dois arcos e no the x sobre dois mas se e nós concluímos nós somente calculamos essa integral indefinida agora alguns de vocês podem ter notado alguma coisa eu meio que passei por isto muito rápido então vamos ter certeza de que a nossa substituição não fez nada de estranho com isso portanto cx tem que estar entre -2 e dois e nós estamos dizendo que x é 2 c no teta significa que 2 c no teta teria que estar entre -2 e dois então menos dois é menor que 2 c no teta que é menor que sendo que é menor que 2 e agora podemos apenas dividir todas as partes diferentes desta equação por dois para simplificar e assim teremos que menos um é menor que 100 no teta que é menor que 1 ea maneira como podemos fazer isto é se teta é menor que pi sobre dois e emp sub 21 oceano de terra será igual e se tenta é maior do que - pi sob dois portanto se restringirão desta forma se nós dissemos que tenta vai estar nesta fase acha bem aqui então estamos restringindo o nosso caminho de uma forma razoável e isto funcionar bem porque isto normalmente é o intervalo para a função sendo mas agora a outra pergunta que você pode ter bem você sabe que dividimos pelo cosseno de teta aqui mas está tudo bem enquanto o conselho de teta não é igual a zero porque você não quer 10 num denominador ea coisa boa sobre esta restrição do teto é que enquanto o teto é maior que - e sobre dois e menor keep sub-21 conselho de teta vai ser diferente de zero na verdade ele vai ser positivo se - pi sobre dois olp subir dois forem permitidos então você obterá com 10 aqui embaixo e teríamos que pensar restringir as coisas de algumas outras maneiras portanto parece que tudo está bem e nós não fizemos nada de estranho um domínio ou restringimos de alguma forma estranha e assim podemos nos sentir bem sobre isto sobre esta resposta que nós obtivemos