Derivada da inversa do cosseno

RKA4JL - No vídeo passado nós vimos a derivada do arco seno de x. Mostramos que existe uma nomenclatura que é utilizada em calculadora em que temos que se y é igual a arco seno x, podemos escrever sen -1 de x. Isso significa a função inversa do sen x e não 1 sobre sen x. Através da derivada de sen y em relação a x, pegamos pela regra da cadeia cos y dy/dx. Deste lado fico dx/dx, que é igual a 1. Então temos que dy/dx é igual a 1 sobre cos y. Como sen²y mais cos²y é igual a 1, nós temos que cos y é igual à raiz quadrada de (1 menos sen²y). Então colocamos dy/dx como sendo 1 sobre, no lugar do cosseno, raiz quadrada de (1 menos sen²y). Mas quem é sen²y? Ora, se sen y é x, sen²y vai ser x². Então ficamos com 1 sobre a raiz quadrada de (1 menos x²). Neste vídeo vamos fazer a derivada do arco cosseno de x, ou seja, se nós temos ao arco cos x podemos dizer que y é igual ao arco cos x, o que significa dizer que x é igual ao cos y. Tomando derivada dos dois lados, nós temos que dx/dx vai ser igual a d cos y sobre dx. Do lado de cá nós temos 1 e aqui pela regra da cadeia nós vamos ter -sen y dy/dx. Passando o sen y para cá, dividindo, nós vamos ter dy/dx igual a -1 sobre sen y. Ora, mas quem é sen y? sen y vai ser igual à raiz quadrada de (1 menos cos²y). Portanto, ficamos com dy/dx igual a -1 sobre (1 menos cos²y) e tudo isso dentro da raiz quadrada. Mas quem é cos²y? Se x é igual ao cos y, cos²y vai ser x². Portanto, ficamos com -1 sobre a raiz quadrada de (1 menos x²). É interessante verificar que, ao tomarmos a derivada do arco cos x, nós temos -1 sobre a raiz quadrada de (1 menos x²) enquanto que, ao tomarmos a derivada do arco sen x, nós vamos ter exatamente o seu oposto, ou seja, 1 sobre a raiz quadrada de (1 menos x²).