Conteúdo principal
Equações diferenciais
A convolução e a Transformada de Laplace
Entendendo como o produto das Transformadas de duas funções está relacionado à sua convolução. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Also , could you show that by the definitions of convolution and laplace transform? Its hard to believe in what you are doing when you only work with the notation and not the definition. And you didnt proved anything , like why is that true ?(1 voto)
- Is this inversibility of the convolution due to the fact that the integrals are linear transformations?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - A ideia deste vídeo é introduzir
o Teorema da Convolução. Aqui estamos tratando
do Teorema da Convolução aplicado às
Transformadas de Laplace. Vamos considerar que
temos uma função f(t), e a sua transformada
de Laplace, vamos escrever
como F(s), vamos também considerar
outra função, g(t), e a sua Transformada
de Laplace que é G(s). Se formos fazer a convolução
de "f" com "g", e isso vai ser
uma função de "t", vimos, em vídeo anterior,
a convolução de seno e cosseno de "t". Temos algo importante e é este
o Teorema da Convolução, a Transformada de Laplace
da convolução de duas funções é igual ao produto das suas
transformadas de Laplace. Então, aqui a transformada de Laplace
da convolução de "f" e "g" resulta na transformada
de Laplace de "f", que é o F(s), vezes a transformada
de Laplace de "G", que é o G(s). Se isso é verdade,
desta forma, então podemos olhar no outro sentido,
quer dizer, a convolução de "f" e "g", que é uma
função de "t", é igual à transformada inversa
de Laplace do produto de F(s) por G(s). Para exemplo, vamos supor que temos
aqui uma transformada de Laplace H(s) = 2s / (s² +1)² . E, por exemplo, ao resolver
equações diferenciais, enfim, precisamos da
transformada inversa desta função para voltar
à função original. Estamos falando
da transformada inversa de H(s). Para obter a transformada
inversa de 2s / (s² + 1)², podemos tentar
transformar isso no produto de duas
transformadas de Laplace e examinar de acordo com a
consequência do Teorema da Convolução. Vamos examinar então
aqui 2s / (s² +1)², isso pode ser escrito como
2 vezes 1/s² +1, vezes s / s² + 1. Verifique que eu só quebrei
a expressão anterior. De fato, se eu fizer, efetuar estas
multiplicações que eu tenho aqui, eu vou voltar a ter 2 vezes 1,
vezes "s" é 2s no numerador, e no denominador s² +1
vezes s² +1, resulta em (s² +1)². Então, tomar a Transformada
de Laplace inversa disto, equivale à transformada
inversa de tudo isto aqui. Aqui alguma coisa já deve estar
aparecendo bem para você. Olhando separadamente
para estes fatores, podemos perceber que esta primeira parte
é a Transformada de Laplace de sen(t). Neste segundo fator que temos aqui,
temos a Transformada de Laplacede cos(t). A primeira, vamos indicar como F(s),
a segunda como G(s), são as duas Transformadas
de Laplace que temos aqui. Desta maneira, podemos
deduzir aqui que f(t) = sen(t). Da mesma forma que
g(t) = cos(t). Aqui, eu vou fazer algo até melhor
pegando todo este pedaço incluindo o 2. Vamos ter aqui que o f(t)
é igual a duas vezes o sen(t). Lembre-se de que a Transformada
de Laplace é um operador linear, então esta constante
dentro ou fora não faz diferença. Aqui temos, então,
as Transformadas de Laplace de 2sen(t) e de cos(t)
sendo multiplicadas. Então, o Teorema da Convolução
nos diz exatamente isso aqui. E observando que essa transformada
inversa que nós estávamos é a transformada inversa do produto
de duas Transformadas de Laplace. A primeira é a Transformada
de Laplace de 2sen(t). A segunda é a Transformada
de Laplace de cos(t). Pelo Teorema da Convolução, se temos
o produto de duas transformadas de Laplace e queremos
a transformada inversa, isso é equivalente à convolução
das duas funções originais. Vamos organizar
um pouco aqui. f(t) é igual à transformada
inversa de F(s). g(t) é a transformada
inversa de G(s). Então, a transformada inversa
de F(s) vezes G(s) é a convolução
da transformada inversa de "F", com a transformada
inversa de "G". F = 2 / s² + 1. E aqui no nosso exemplo,
G = s / s² +1. E o Teorema da Convolução garante
que isto é igual à convolução da transformada inversa
de 2 / s² + 1 com s / s² + 1. E nós já vimos o que é cada uma
destas transformadas inversas. Esta primeira é
2 vezes o sen(t), convolução com a inversa desta
expressão, que já sabemos que é cos(t). Neste momento, seria até
interessante você revisar o que foi feito até aqui,
há muitos detalhes. Mas, continuando, queremos
a transformada inversa de 2s / (s² + 1)², que seria uma transformada inversa
bastante complicada de conseguir, mas com o Teorema da Convolução, sabemos
que ela é igual a esta expressão aqui 2sen(t) convolução
com cos(t). Então, agora, podemos usar
a definição de convolução e chegar, finalmente, à resposta para
a transformada inversa daquela expressão. A convolução
de "f" com "g" é igual à integral de zero a "t"
de F(t) menos τ, vezes g(τ)dτ. Então, a convolução de
2sen(t) com o cos(t) é igual à integral de zero a "t"
de 2 sen(t) - τ, vezes cos(τ) dτ. A constante 2
pode sair da integral e vai ficar 2 vezes
a integral de zero a "t", sen(t) menos τ,
cos(τ) dτ. Em vídeo anterior,
eu já resolvi esta integral. O que temos aqui nesta integral
é a convolução de sen(t) cos(t). E isso está resolvido
em vídeo anterior. Eu sugiro que você assista ao vídeo
onde eu introduzo a convolução. E isso resulta em 1/2
vezes "t" sen(t). Esta integral ainda deve ser multiplicada
por aquele 2 que está ali fora. Portanto, o resultado
final é t sen(t). Ou seja, a transformada
inversa de 2s / (s² +1)² é igual a 2 vezes essa
coisa toda aqui. 2 vezes 1/2,
evidentemente, cancela. Então, temos
t sen(t). Aqui existem muitos passos
e muitas passagens, mas conforme você pegar
o jeito isso vai mais rápido e de maneira
mais simples. Mas o importante
é você perceber que nós quebramos esta expressão no produto
de duas transformadas conhecidas. E, a partir de então, usamos
o Teorema da Convolução. Foi o que
fizemos aqui, transformamos esta
expressão em um produto de duas expressões cujas
transformadas inversas nós conhecemos, e aquela transformada inversa
que precisávamos é justamente a convolução
de 2sen(t) com cos(t). Fazendo estas operações,
você consegue chegar a um resultado para a transformada
inversa que está procurando ou, às vezes, mesmo escrevê-la
em forma de alguma integral. É importante saber lidar
com a transformada inversa, porque em muitas
equações diferenciais nas quais você usa
a Transformada de Laplace, você vai precisar
desta ideia. Até o próximo vídeo!