A convolução e a Transformada de Laplace

RKA3JV - A ideia deste vídeo é introduzir o Teorema da Convolução. Aqui estamos tratando do Teorema da Convolução aplicado às Transformadas de Laplace. Vamos considerar que temos uma função f(t), e a sua transformada de Laplace, vamos escrever como F(s), vamos também considerar outra função, g(t), e a sua Transformada de Laplace que é G(s). Se formos fazer a convolução de "f" com "g", e isso vai ser uma função de "t", vimos, em vídeo anterior, a convolução de seno e cosseno de "t". Temos algo importante e é este o Teorema da Convolução, a Transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das suas transformadas de Laplace. Então, aqui a transformada de Laplace da convolução de "f" e "g" resulta na transformada de Laplace de "f", que é o F(s), vezes a transformada de Laplace de "G", que é o G(s). Se isso é verdade, desta forma, então podemos olhar no outro sentido, quer dizer, a convolução de "f" e "g", que é uma função de "t", é igual à transformada inversa de Laplace do produto de F(s) por G(s). Para exemplo, vamos supor que temos aqui uma transformada de Laplace H(s) = 2s / (s² +1)² . E, por exemplo, ao resolver equações diferenciais, enfim, precisamos da transformada inversa desta função para voltar à função original. Estamos falando da transformada inversa de H(s). Para obter a transformada inversa de 2s / (s² + 1)², podemos tentar transformar isso no produto de duas transformadas de Laplace e examinar de acordo com a consequência do Teorema da Convolução. Vamos examinar então aqui 2s / (s² +1)², isso pode ser escrito como 2 vezes 1/s² +1, vezes s / s² + 1. Verifique que eu só quebrei a expressão anterior. De fato, se eu fizer, efetuar estas multiplicações que eu tenho aqui, eu vou voltar a ter 2 vezes 1, vezes "s" é 2s no numerador, e no denominador s² +1 vezes s² +1, resulta em (s² +1)². Então, tomar a Transformada de Laplace inversa disto, equivale à transformada inversa de tudo isto aqui. Aqui alguma coisa já deve estar aparecendo bem para você. Olhando separadamente para estes fatores, podemos perceber que esta primeira parte é a Transformada de Laplace de sen(t). Neste segundo fator que temos aqui, temos a Transformada de Laplacede cos(t). A primeira, vamos indicar como F(s), a segunda como G(s), são as duas Transformadas de Laplace que temos aqui. Desta maneira, podemos deduzir aqui que f(t) = sen(t). Da mesma forma que g(t) = cos(t). Aqui, eu vou fazer algo até melhor pegando todo este pedaço incluindo o 2. Vamos ter aqui que o f(t) é igual a duas vezes o sen(t). Lembre-se de que a Transformada de Laplace é um operador linear, então esta constante dentro ou fora não faz diferença. Aqui temos, então, as Transformadas de Laplace de 2sen(t) e de cos(t) sendo multiplicadas. Então, o Teorema da Convolução nos diz exatamente isso aqui. E observando que essa transformada inversa que nós estávamos é a transformada inversa do produto de duas Transformadas de Laplace. A primeira é a Transformada de Laplace de 2sen(t). A segunda é a Transformada de Laplace de cos(t). Pelo Teorema da Convolução, se temos o produto de duas transformadas de Laplace e queremos a transformada inversa, isso é equivalente à convolução das duas funções originais. Vamos organizar um pouco aqui. f(t) é igual à transformada inversa de F(s). g(t) é a transformada inversa de G(s). Então, a transformada inversa de F(s) vezes G(s) é a convolução da transformada inversa de "F", com a transformada inversa de "G". F = 2 / s² + 1. E aqui no nosso exemplo, G = s / s² +1. E o Teorema da Convolução garante que isto é igual à convolução da transformada inversa de 2 / s² + 1 com s / s² + 1. E nós já vimos o que é cada uma destas transformadas inversas. Esta primeira é 2 vezes o sen(t), convolução com a inversa desta expressão, que já sabemos que é cos(t). Neste momento, seria até interessante você revisar o que foi feito até aqui, há muitos detalhes. Mas, continuando, queremos a transformada inversa de 2s / (s² + 1)², que seria uma transformada inversa bastante complicada de conseguir, mas com o Teorema da Convolução, sabemos que ela é igual a esta expressão aqui 2sen(t) convolução com cos(t). Então, agora, podemos usar a definição de convolução e chegar, finalmente, à resposta para a transformada inversa daquela expressão. A convolução de "f" com "g" é igual à integral de zero a "t" de F(t) menos τ, vezes g(τ)dτ. Então, a convolução de 2sen(t) com o cos(t) é igual à integral de zero a "t" de 2 sen(t) - τ, vezes cos(τ) dτ. A constante 2 pode sair da integral e vai ficar 2 vezes a integral de zero a "t", sen(t) menos τ, cos(τ) dτ. Em vídeo anterior, eu já resolvi esta integral. O que temos aqui nesta integral é a convolução de sen(t) cos(t). E isso está resolvido em vídeo anterior. Eu sugiro que você assista ao vídeo onde eu introduzo a convolução. E isso resulta em 1/2 vezes "t" sen(t). Esta integral ainda deve ser multiplicada por aquele 2 que está ali fora. Portanto, o resultado final é t sen(t). Ou seja, a transformada inversa de 2s / (s² +1)² é igual a 2 vezes essa coisa toda aqui. 2 vezes 1/2, evidentemente, cancela. Então, temos t sen(t). Aqui existem muitos passos e muitas passagens, mas conforme você pegar o jeito isso vai mais rápido e de maneira mais simples. Mas o importante é você perceber que nós quebramos esta expressão no produto de duas transformadas conhecidas. E, a partir de então, usamos o Teorema da Convolução. Foi o que fizemos aqui, transformamos esta expressão em um produto de duas expressões cujas transformadas inversas nós conhecemos, e aquela transformada inversa que precisávamos é justamente a convolução de 2sen(t) com cos(t). Fazendo estas operações, você consegue chegar a um resultado para a transformada inversa que está procurando ou, às vezes, mesmo escrevê-la em forma de alguma integral. É importante saber lidar com a transformada inversa, porque em muitas equações diferenciais nas quais você usa a Transformada de Laplace, você vai precisar desta ideia. Até o próximo vídeo!