Suponha que um celular esteja com a câmera frontal defeituosa e um grupo de $4$4 amigos queira registrar um momento tirando uma fotografia. Eles deverão usar a câmera traseira, mas não será possível realizar uma selfie. Logo, um deles deverá segurar a câmera. Quantas fotos diferentes poderão ser tiradas nessas condições?

Uma boa estratégia é nomear os amigos ou representá-los usando letras. Sejam os amigos A, B, C e D. A primeira decisão a ser tomada é qual dos amigos vai segurar o celular. Decidido isso, podemos compor a fotografia decidindo quem sairá à esquerda na foto, quem sairá à direita na foto e quem ficará no meio. Usar tabelas para organizar tais informações pode ser bem útil neste caso.

Cada um desses agrupamentos é chamado de combinação. Contudo, é importante perceber que agrupamentos do tipo B - C - D e B - D - C representam o mesmo grupo de amigos, mas cada um deles resulta em uma fotografia diferente, pois na primeira fotografia, o amigo C se encontra entre os amigos B e D, e na segunda fotografia, quem se encontra ao meio é o amigo D. Dizemos que na primeira situação (grupo de amigos), temos uma combinação, enquanto na segunda situação (fotografia), temos um arranjo.

O foco deste artigo é deixar claro que a principal característica de uma combinação envolve a determinação de uma coleção de elementos em que a ordem não é importante (elementos não ordenáveis).

Vejamos mais um exemplo.

Na Mega-Sena, são sorteados $6$6 números entre $60$60 disponíveis. Alguns dos resultados possíveis são:

Perceba que, se trocarmos de lugar os números na primeira linha, por exemplo, ainda temos o mesmo sorteio:

$( 10 - 23 - 45 - 49- 52 - 59)$left parenthesis, 10, minus, 23, minus, 45, minus, 49, minus, 52, minus, 59, right parenthesis = $(23 - 49 - 59 - 52 - 10 - 45)$left parenthesis, 23, minus, 49, minus, 59, minus, 52, minus, 10, minus, 45, right parenthesis

Quem ganhará será a mesma pessoa. O sorteio se faz aleatoriamente, mas todos os números são escritos em ordem crescente para o jogador visualizar melhor. Nesse caso, a ordem também não é importante.

Outra ideia de combinação poderia ser estudada com a geometria.

Com $7$7 pontos distintos de uma circunferência, é possível traçar triângulos, tomando $3$3 desses pontos.

Deve-se salientar que os triângulos DEG, EGD e GED são os mesmos. Novamente, podemos perceber que a ordem não é importante. Estamos falando de um problema de combinação.

Dando sequência ao artigo, podemos formalizar uma fórmula para achar quantas possibilidades existem em uma coleção de elementos.

Suponha que existam $4$4 estudantes que precisam formar uma comissão interna na escola, composta por apenas $3$3 deles. Qual seria a primeira decisão a ser tomada? E a segunda? E a terceira decisão?

Para resolver essa proposta, pode-se iniciar determinando quem será o primeiro representante (teremos $4$4 possíveis candidatos), logo em seguida, escolher quem será o segundo representante (teremos, então, apenas $3$3 candidatos, pois um deles já fora escolhido) e, por último, quem deverá ser o terceiro candidato (nesse momento, haverá apenas $2$2 candidatos disponíveis). Usando o princípio multiplicativo teríamos:

Contudo, há um erro nesse tipo de raciocínio!

Suponha que os candidatos sejam A, B, C e D.

Comissões do tipo A - B - C, B - C - A e A - C - B são exemplos que mostram que se trata da mesma comissão, pois a ordem dos candidatos não interfere na composição de cada uma delas. Em outras palavras, existem comissões que foram contadas mais de uma vez no cálculo anterior.

Para corrigir o raciocínio exposto anteriormente, devemos dividir o resultado obtido pelo número de permutações que as comissões poderiam fazer em cada uma delas. Isso é dado por:

Logo, o número total de comissões que podem ser feitas seguindo os critérios estabelecidos é:

$24 / 6 = 4$24, slash, 6, equals, 4 comissões

Voltando ao exemplo das fotografias proposto no início do artigo, a questão propõe que cada comissão formada seja fotografada. Quantas fotografias podemos determinar nessas condições?

Bem, já sabemos que para escolher $3$3 candidatos dentre $4$4 disponíveis para formar uma comissão, devemos determinar uma combinação de $4$4 elementos tomados $3$3 a $3$3. Nesse caso, indicamos por $C_3 ^4$C, start subscript, 3, end subscript, start superscript, 4, end superscript, cujo valor calculado no item anterior é igual a $4$4.

Como a ordem na fotografia influencia o resultado final, devemos permutar os $3$3 membros da comissão entre si ($P_3$P, start subscript, 3, end subscript), o que pode ser calculado por:

Dessa maneira, o número total de fotografias possível $(A_3 ^4$left parenthesis, A, start subscript, 3, end subscript, start superscript, 4, end superscript) é dado pela multiplicação do número de comissões ($C_3^ 4$C, start subscript, 3, end subscript, start superscript, 4, end superscript ) pelo número de permutações entre os candidatos ($P_3$P, start subscript, 3, end subscript), ou seja:

$A_3 ^4 =4 \times 6=24$A, start subscript, 3, end subscript, start superscript, 4, end superscript, equals, 4, times, 6, equals, 24 fotografias distintas

Generalizando o raciocínio proposto para escolha de n elementos tomados p a p, tem-se que:

Como $A_p ^n = \dfrac{n!}{(n - p)!}$A, start subscript, p, end subscript, start superscript, n, end superscript, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, p, right parenthesis, !, end fraction, então, temos que:

$C_p ^n = \dfrac{\left(\dfrac{n!}{(n - p)!}\right)}{\left({p!}\right)}$C, start subscript, p, end subscript, start superscript, n, end superscript, equals, start fraction, left parenthesis, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, p, right parenthesis, !, end fraction, right parenthesis, divided by, left parenthesis, p, !, right parenthesis, end fraction = $\dfrac{n!}{(n - p)!\cdot p!}$start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, p, right parenthesis, !, dot, p, !, end fraction

Agora, volte no segundo exemplo (Mega-Sena) e no terceiro exemplo (triângulos) e observe a resolução (no link em azul).