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Combinação

O foco deste artigo é deixar claro ao estudante que a principal característica de uma combinação envolve a determinação de uma coleção de elementos onde a ordem não é importante (elementos não ordenáveis).

Número de fotografias

Suponha que um celular esteja com a câmera frontal defeituosa e um grupo de 4 amigos queira registrar um momento tirando uma fotografia. Eles deverão usar a câmera traseira, mas não será possível realizar uma selfie. Logo, um deles deverá segurar a câmera. Quantas fotos diferentes poderão ser tiradas nessas condições?
Uma boa estratégia é nomear os amigos ou representá-los usando letras. Sejam os amigos A, B, C e D. A primeira decisão a ser tomada é qual dos amigos vai segurar o celular. Decidido isso, podemos compor a fotografia decidindo quem sairá à esquerda na foto, quem sairá à direita na foto e quem ficará no meio. Usar tabelas para organizar tais informações pode ser bem útil neste caso.
Cada um desses agrupamentos é chamado de combinação. Contudo, é importante perceber que agrupamentos do tipo B - C - D e B - D - C representam o mesmo grupo de amigos, mas cada um deles resulta em uma fotografia diferente, pois na primeira fotografia, o amigo C se encontra entre os amigos B e D, e na segunda fotografia, quem se encontra ao meio é o amigo D. Dizemos que na primeira situação (grupo de amigos), temos uma combinação, enquanto na segunda situação (fotografia), temos um arranjo.
O foco deste artigo é deixar claro que a principal característica de uma combinação envolve a determinação de uma coleção de elementos em que a ordem não é importante (elementos não ordenáveis).

Mega-Sena

Vejamos mais um exemplo.
Na Mega-Sena, são sorteados 6 números entre 60 disponíveis. Alguns dos resultados possíveis são:
Perceba que, se trocarmos de lugar os números na primeira linha, por exemplo, ainda temos o mesmo sorteio:
(102345495259) = (234959521045)
Quem ganhará será a mesma pessoa. O sorteio se faz aleatoriamente, mas todos os números são escritos em ordem crescente para o jogador visualizar melhor. Nesse caso, a ordem também não é importante.

Triângulos na circunferência

Outra ideia de combinação poderia ser estudada com a geometria.
Com 7 pontos distintos de uma circunferência, é possível traçar triângulos, tomando 3 desses pontos.
Deve-se salientar que os triângulos DEG, EGD e GED são os mesmos. Novamente, podemos perceber que a ordem não é importante. Estamos falando de um problema de combinação.

Comissões

Dando sequência ao artigo, podemos formalizar uma fórmula para achar quantas possibilidades existem em uma coleção de elementos.
Suponha que existam 4 estudantes que precisam formar uma comissão interna na escola, composta por apenas 3 deles. Qual seria a primeira decisão a ser tomada? E a segunda? E a terceira decisão?
Para resolver essa proposta, pode-se iniciar determinando quem será o primeiro representante (teremos 4 possíveis candidatos), logo em seguida, escolher quem será o segundo representante (teremos, então, apenas 3 candidatos, pois um deles já fora escolhido) e, por último, quem deverá ser o terceiro candidato (nesse momento, haverá apenas 2 candidatos disponíveis). Usando o princípio multiplicativo teríamos:
Contudo, há um erro nesse tipo de raciocínio!
Suponha que os candidatos sejam A, B, C e D.
Comissões do tipo A - B - C, B - C - A e A - C - B são exemplos que mostram que se trata da mesma comissão, pois a ordem dos candidatos não interfere na composição de cada uma delas. Em outras palavras, existem comissões que foram contadas mais de uma vez no cálculo anterior.
Para corrigir o raciocínio exposto anteriormente, devemos dividir o resultado obtido pelo número de permutações que as comissões poderiam fazer em cada uma delas. Isso é dado por:
3!=3×2×1=6
Logo, o número total de comissões que podem ser feitas seguindo os critérios estabelecidos é:
24/6=4 comissões
Voltando ao exemplo das fotografias proposto no início do artigo, a questão propõe que cada comissão formada seja fotografada. Quantas fotografias podemos determinar nessas condições?
Bem, já sabemos que para escolher 3 candidatos dentre 4 disponíveis para formar uma comissão, devemos determinar uma combinação de 4 elementos tomados 3 a 3. Nesse caso, indicamos por C34, cujo valor calculado no item anterior é igual a 4.
Como a ordem na fotografia influencia o resultado final, devemos permutar os 3 membros da comissão entre si (P3), o que pode ser calculado por:
3!=3×2×1=6
Dessa maneira, o número total de fotografias possível (A34) é dado pela multiplicação do número de comissões (C34 ) pelo número de permutações entre os candidatos (P3), ou seja:
A34=C34×P3
A34=4×6=24 fotografias distintas

Generalização da fórmula

Generalizando o raciocínio proposto para escolha de n elementos tomados p a p, tem-se que:
Apn=Cpn×Pn
Cpn=ApnPn
Como Apn=n!(np)!, então, temos que:
Cpn=(n!(np)!)(p!) = n!(np)!p!
Agora, volte no segundo exemplo (Mega-Sena) e no terceiro exemplo (triângulos) e observe a resolução (no link em azul).

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