Resolução de problemas com triângulos semelhantes

RKA - Neste primeiro problema, é pedido para calcular o comprimento desse segmento, o segmento CE. Temos essas duas retas paralelas AB como paralelas a DE. E aí temos essas duas transversais, essencialmente, que formam estes dois triângulos. Vamos ver o que dá para fazer. A primeira coisa que você vai notar é que este ângulo e estes são verticais, então eles serão congruentes. Outra coisa que você vai notar é que o ângulo CDE, o ângulo CDE é um ângulo alterno interno com CBA. Então, temos esta transversal aqui e estes são ângulos alternos internos e eles serão congruentes. Ou pode-se dizer que, se continuar esta transversal, teríamos um ângulo correspondente com CDE aqui, e esse é só o vertical. Enfim, este ângulo e este ângulo serão congruentes. Estabelecemos que a gente tem dois triângulos e eles têm dois ângulos correspondentes que são iguais. E isso, por si só, é o bastante para estabelecer semelhança. Poderíamos mostrar que este ângulo e este também são congruentes por ângulos alternos internos, mas não precisamos fazer isso. Já sabemos que eles são semelhantes. Na verdade, poderíamos dizer isso só pelos ângulos alternos internos, que também serão congruentes. Mas já sabemos o bastante para dizer que são semelhantes mesmo antes de fazer isso. Então, já sabemos que o triângulo... Vou escrever usando cores para que tenhamos os mesmos vértices correspondentes. E é muito importante saber quais ângulos e quais lados correspondem a qual lado, para não bagunçar as razões ou para que se saiba o que corresponde ao que. Então, sabemos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo... é semelhante ao triângulo... Então, ABC, este vértice A corresponde ao vértice "E" aqui. É semelhante ao vértice "E" e o vértice B corresponde ao vértice D, EDC. O que isso nos dá? Isso nos diz que as razões dos lados correspondentes serão as mesmas, elas terão algum valor constante. Então, temos o valor do lado correspondente... da razão, por exemplo, o lado correspondente ABC será DC. Podemos ver só pela forma com que escrevemos a semelhança. Se isso é verdade, então BC é o lado correspondente a DC. Sabemos que o comprimento de BC sobre DC (BC/DC) será igual ao comprimento de... Bom, queremos descobrir quanto mede CE. Isso é o que importa. Estou usando BC e DC, pois conhecemos seus valores. BC sobre DC será igual a um lado correspondente a CE. O lado correspondente aqui é CA, a razão será igual a CA sobre CE. CA sobre CE, que são lados correspondentes. Esse é o último e primeiro. Último e primeiro, CA sobre CE. E sabemos que BC mede 5, sabemos que DC mede 3 e sabemos que CA ou AC mede 4. Agora podemos calcular CE. Há várias formas de pensar nisso. Você pode multiplicar em "x" e isso é a mesma coisa que multiplicar os dois lados pelos dois denominadores. Temos 5 vezes o comprimento de CE é igual a 3 vezes 4, que será 12. E depois temos CE = 12 sobre 5, que é a mesma coisa que CE = 12 quintos, igual a 2 inteiros e 2 quintos. (2 2/5). Isso será 2 inteiros e 2 quintos e acabou. Conseguimos usar semelhança para descobrir esse lado apenas sabendo que a razão entre os lados correspondentes será a mesma. Vamos resolver esse problema aqui. Eu vou desenhar uma reta. Esta, agora, é uma questão diferente. Nesse problema, precisamos descobrir quanto mede DE e, de novo, temos essas duas retas paralelas, assim. Sabemos que ângulos correspondentes são congruentes. Sabemos que esse ângulo será congruente a esse ângulo. Você pode visualizar isso como transversal. Também sabemos que esse ângulo será congruente a esse ângulo aqui. De novo, ângulos correspondentes em relação a uma transversal e também em relação a dois triângulos. Eu estou olhando para os triângulos CBD e triângulos CAE, os dois compartilham esse ângulo. Mostramos mais uma vez que poderíamos ter parado com dois ângulos. Mas mostramos que todos os três ângulos desses dois triângulos, todos os três dos ângulos correspondentes são congruentes uns aos outros. Sabemos que o importante é ter certeza de que... de escrever as coisas na ordem certa quando se escreve semelhança. Sabemos que o triângulo CBD é semelhante, e não congruente. Ele é semelhante ao triângulo CAE (triângulo CAE). Isso significa que a razão dos lados correspondentes será constante. A gente sabe que, por exemplo, a razão de CB sobre CA será igual à razão de CD sobre CE. CD sobre CE. E sabemos que CB é 5. Sabemos quanto mede CA e temos que tomar cuidado aqui, ele não mede 3. CA, esse lado todo, será 5 + 3, isso será igual a 8. E sabemos o valor de CD, que será 4. De novo, podemos multiplicar em "x". Temos 5CE. 5 vezes CE é igual a 8 vezes 4. 8 vezes 4 é 32. CE = 32 quintos. Ou, ainda, pensamos dessa forma, 6 inteiros e 2 quintos. Não terminamos ainda, pois não foi pedido o valor de CE. Eles querem essa parte aqui. Estão pedindo o valor de DE. Sabemos que todo esse comprimento CE aqui é 6 inteiros e 2 quintos. Então, DE aqui, que é o que temos que descobrir, será todo esse comprimento de 6 dois quintos menos 4 menos CD. Então, será 2 inteiros e 2 quintos. 6 dois quintos menos 4 dois quintos é igual a 2 dois quintos. E acabou! DE = 2 inteiros e 2 quintos.