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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 7

Lição 3: Equação geral de uma circunferência
Matemática
Geometria intermediária
Seções cônicas
Equação geral de uma circunferência
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Revisão da equação da circunferência

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Faça uma revisão das formas reduzida e geral das equações da circunferência, e resolva os problemas relacionados a elas.

Qual é a equação reduzida de uma circunferência?

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
Essa é a equação reduzida usual da circunferência centrada em left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis e com start color #e07d10, r, end color #e07d10 de raio.
As circunferências também podem ser dadas na forma geral, que é simplesmente o resultado da expansão dos quadrados binomiais da forma reduzida e da combinação dos termos semelhantes.
Por exemplo, a equação da circunferência centrada em left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, comma, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis e com start color #e07d10, 3, end color #e07d10 de raio é left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared. Essa é sua equação geral:
(x−1)2+(y−2)2=32(x2−2x+1)+(y2−4y+4)=9x2+y2−2x−4y−4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
Quer saber mais sobre equações da circunferência? Confira esse vídeo.

Conjunto de exercícios 1: usando a equação reduzida das circunferências

Problema 1.1
  • Atual
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
Qual é o centro da circunferência?
left parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Qual é seu raio?
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidades

Quer experimentar mais problemas como esse? Confira esse exercício e esse exercício.

Conjunto de exercícios 2: escrevendo equações da circunferência

Problema 2.1
  • Atual
Uma circunferência tem um raio de square root of, 13, end square root unidades e está centrada em left parenthesis, minus, 9, comma, 3, ;, 4, comma, 1, right parenthesis.
Escreva a equação dessa circunferência.

Quer tentar mais problemas como esse? Confira esse exercício.

Conjunto de exercícios 3: usando a equação geral das circunferências

Para interpretar a equação geral de uma circunferência, devemos reescrevê-la na forma reduzida usando o método de "completar quadrados".
Considere, por exemplo, o processo de reescrita da equação geral x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 na forma reduzida:
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=−105(x2+18x)+(y2+14y)=−105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=−105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x−(−9))2+(y−(−7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
Agora podemos dizer que o centro da circunferência é left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis e que o raio é 5.
Problema 3.1
  • Atual
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
Qual é o centro dessa circunferência?
left parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Qual é o raio dessa circunferência?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidades

Quer experimentar mais problemas como esse? Confira esse exercício e esse exercício.

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