Produtos notáveis de polinômios: diferença de dois quadrados

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver o produto notável especial, que é o produto da soma pela diferença. Para isso, vamos realizar a multiplicação de (x + y) por (x - y), e vamos utilizar inicialmente a distributiva. Isso significa que nós pegamos esse "x" e multiplicamos por todos os termos deste polinômio, e aí, vamos ficar com "x" vezes "x", que dá x², e "x" vezes "-y" vai ser -xy. E agora o pegamos o "y" e multiplicamos por todos os termos do polinômio. E aí, vamos ficar com "yx", que é a mesma coisa que mais xy, ou seja, só trocamos a ordem porque isso não vai influenciar no resultado final, correto? E "y" vezes "-y" é igual a -y². O interessante é que aqui nós temos -xy e aqui +xy, então, podemos cancelar esses dois termos. Com isso, a minha resposta final vai ser x² - y². E note que nós temos um "x" aqui, e um "x" aqui, um "y" aqui, e um "y" aqui. A única diferença entre esses dois termos é o sinal. Aqui é mais e aqui é menos. Toda vez que você tiver esse tipo de multiplicação, basta elevar o primeiro termo ao quadrado e subtrair elevando o segundo termo ao quadrado. Por exemplo, se você tiver (a + b) e multiplicar por (a - b), qual vai ser o resultado? Simples, pegamos o primeiro termo, que é o "a", e elevamos ao quadrado e subtraímos, elevando o segundo termo, que é "b", ao quadrado. Basicamente, este produto é o mesmo daqui, a diferença é que trocamos "x" e "y" por "a" e "b". Agora, vamos fazer um exemplo um pouco mais complexo? Vamos fazer (3 + 5x⁴) vezes (3 - 5x⁴). Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então. A primeira coisa que você deve fazer é identificar quem é o primeiro termo e quem é o segundo termo, ou seja, quem é o "a" e quem é o "b". Bem, o "a" é este termo e esse aqui também, ou seja, "a" é igual a 3. E quem é "b"? Tome muito cuidado para não dizer que "b" é igual a -5x⁴, quando, na verdade, "b" é igual a 5x⁴, e que também aparece aqui. E se aplicarmos este produto notável, nós devemos fazer (3²) - (5x⁴)². E resolvendo isso, ficamos com 3², que dá 9, e subtraímos por (5x⁴)², e aí, nós devemos elevar tanto o 5 quanto o x⁴ ao quadrado, e 5² = 25, e (x⁴)² nós devemos multiplicar os expoentes. E aí, 4 vezes 2 vai ser 8, então, ficamos com x⁸. Ou seja, este produto é igual a 9 - 25x⁸. Seria muito mais trabalhoso realizar a distributiva aqui, mas chegaríamos no mesmo resultado. E vamos fazer um último exemplo: vamos fazer (3y² + 2y⁵) vezes (3y² - 2y⁵). Qual vai ser o resultado? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então. A primeira coisa que temos que fazer é identificar quem é "a" e quem é "b". O "a" sempre vai ser o primeiro termo, e o "b", sempre é o segundo. Então, vamos ficar com (3y²)² - (2y⁵)². Aqui, de novo, nós temos potência de potência. Só para relembrar essa propriedade aqui, caso você não se lembre. Toda vez que tivermos uma potência elevada a outra potência, para resolver isso, podemos repetir a base e multiplicar os expoentes. Neste caso, ficaríamos com aⁿᵐ. E é justamente o que vamos fazer nesses dois casos. (3y²)² é a mesma coisa que 9y⁴. Subtraímos isso por (2y⁵)⁴, que é a mesma coisa que 4y¹⁰. E não tem nem como simplificar mais esta expressão. Basicamente, é assim que se aplica esse produto notável. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!