If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Matemática 3

Curso: Matemática 3 > Unidade 13

Lição 1: Cancelamento de fatores comuns
Matemática
Matemática 3
Funções racionais
Cancelamento de fatores comuns
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Simplificação de expressões racionais (avançado)

Google Sala de Aula
Você aprendeu os conceitos básicos da simplificação de expressões racionais? Ótimo! Agora ganhe mais experiência com alguns exemplos mais complexos.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. Uma expressão racional é considerada simplificada quando o numerador e o denominador não têm fatores em comum.
Se isso é novo para você, recomendamos que você confira nossa introdução à simplificação de expressões racionais.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, você vai praticar a simplificação de expressões racionais mais complicadas. Vamos ver dois exemplos e, então, você pode tentar alguns problemas!

Exemplo 1: como simplificar space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador
Aqui é importante observar que, embora o numerador seja um monômio, também podemos fatorá-lo.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, squared, divided by, 2, dot, x, dot, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
Etapa 2: registre os valores restritos
A partir da forma fatorada, vemos que x, does not equal, 0 e x, does not equal, 9.
Etapa 3: cancele fatores comuns
2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=5x2x−9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Etapa 4: resposta final
Escrevemos a forma simplificada assim:
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction para x, does not equal, 0

Ponto importante a ser lembrado

Nesse exemplo, vemos que, às vezes, vamos ter que fatorar monômios para simplificar uma expressão racional.

Teste seu conhecimento

1) Simplifique start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction.
Escolha 1 resposta:

Exemplo 2: como simplificar space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador
Embora não pareça que haja fatores comuns, x, minus, 3 e 3, minus, x estão relacionados. Na verdade, podemos colocar o minus, 1 do numerador em evidência para revelar um fator comum de x, minus, 3.
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)Comutatividade\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Comutatividade}}} \end{aligned}
Etapa 2: registre os valores restritos
A partir da forma fatorada, vemos que x, does not equal, 3 e x, does not equal, minus, 1.
Etapa 3: cancele fatores comuns
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
A última etapa de multiplicação do minus, 1 no numerador não era necessária, mas é comum fazermos isso.
Etapa 4: resposta final
Escrevemos a forma simplificada assim:
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction para x, does not equal, 3

Ponto importante a ser lembrado

Os fatores x, minus, 3 e 3, minus, x são opostos, uma vez que minus, 1, dot, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.
Nesse exemplo, vimos que esses fatores se cancelaram, mas que um fator de minus, 1 foi acrescentado. Em outras palavras, os fatores x, minus, 3 e 3, minus, x se cancelaram e se tornaram start text, negative, 1, end text.
Em geral, fatores opostos a, minus, b e b, minus, a se cancelarão para se tornar minus, 1 desde que a, does not equal, b.

Teste seu conhecimento

2) Simplifique start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction.
Escolha 1 resposta:

3) Simplifique start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
para x, does not equal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Vamos resolver mais alguns problemas

4) Simplifique start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction.
Escolha 1 resposta:

5) Simplifique start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
para x, does not equal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Simplifique start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction.
Escolha 1 resposta:

Quer participar da conversa?

Entrar
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.