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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 1: Definições formais de divergência e rotacional (leitura opcional)

Definição formal de rotacional em três dimensões

Após aprender como o rotacional bidimensional é definido, você está pronto para aprender a definição formal de rotacional tridimensional. Isso é avançado, então esteja preparado para ir devagar.

Conhecimentos prévios

Para entender este artigo é realmente necessário entender os dois pré-requisitos. A definição formal da curva em três dimensões tem tantas peças móveis que ter uma noção mental sólida da analogia bidimensional, assim como o conceito tridimensional que estamos tentando compreender, é crucial.

Em particular, se você não acabou de ler o artigo que dá a definição formal de rotacional em duas dimensões, eu recomendo dar uma olhada rápida nele agora, mesmo que você já o tenha lido antes, e mesmo que apenas o resumo.

O que estamos construindo

Definimos rotacional tridimensional um componente por vez, examinando os componentes de rotação de fluido que são paralelos ao plano y, z, ao plano x, z e ao plano x, y.
Você pode capturar todas as três definições de start text, r, o, t, end text, start bold text, F, end bold text, coordenada por coordenada, definindo qual deve ser o produto escalar entre start text, r, o, t, end text, start bold text, F, end bold text e qualquer vetor unitário que start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f venha a ser.
$\begin{aligned} \big( \text{rot}\; \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$
[Descrição de termos ]

Limitando nossa visão a um plano

O rotacional em três dimensões é uma coisa bastante complicada de se pensar. Por exemplo, sendo start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis um campo vetorial tridimensional:

$\begin{aligned} \textbf{F}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} F_1(x, y, z) \\ F_2(x, y, z) \\ F_3(x, y, z) \end{array} \right] \end{aligned}$

Um exemplo de como isso poderia parecer é mostrado no vídeo abaixo.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Agora imagine o fluxo tridimensional de um fluido que start bold text, F, end bold text poderia representar. Como você sabe, a start text, c, u, r, v, a, end text, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis é uma maneira de medir a rotação no fluido próximo ao ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, mas esse é um conceito complicado para quantificar de maneira rigorosa.

Existem algumas boas analogias para conseguir uma intuição melhor sobre o rotacional. Uma das minhas favoritas é pensar nele como uma pequena bola de tênis com centro no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, e como o fluxo do fluido que a cerca poderia causar sua rotação. Nessa analogia, start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis nos dá o vetor resultante da rotação da bola de tênis.

No entanto, essas descrições são limitadas quando o objetivo é definir formalmente o que é o rotacional; para capturar esta intuição com rigor matemático.

Nossa estratégia para continuar é limitar nossa visão da rotação em um plano específico. Por exemplo, o próximo vídeo mostra um plano que representa um valor x constante, especificamente, x, equals, 1, comma, 6, assim como os vetores de start bold text, F, end bold text que têm origem nesse plano.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Em fórmulas, você poderia descrever isso como todos os vetores na forma

start bold text, F, end bold text, left parenthesis, 1, comma, 6, comma, y, comma, z, right parenthesis

Aqui, y e z variam livremente. Quando projetamos esses vetores no plano e os tornamos planos como uma foto, temos algo parecido com isso:

Note que os eixos são rotulados como "y" e "z", porque esse plano era originalmente paralelo ao plano y, z no espaço tridimensional. Nós poderíamos descrever esse campo vetorial com uma nova função bidimensional start bold text, F, end bold text, start subscript, 1, point, 6, end subscript, left parenthesis, y, comma, z, right parenthesis definida da seguinte maneira:

$\begin{aligned} \textbf{F}_{1{,}6}(y, z) = \left[ \begin{array}{c} F_2(1{,}6; y; z) \\ F_3(1{,}6; y; z) \end{array} \right] \end{aligned}$

De modo geral, se cortarmos o campo vetorial com qualquer plano na forma x, equals, x, start subscript, 0, end subscript para alguma constante x, start subscript, 0, end subscript, e então projetarmos os vetores decorrentes desse plano sobre o próprio plano, teremos um campo vetorial bidimensional descrito por uma função parecida com essa:

$\begin{aligned} \textbf{F}_{x_0}(y, z) = \left[ \begin{array}{c} F_2(x_0, y, z) \\ F_3(x_0, y, z) \end{array} \right] \end{aligned}$

Verificação de conceito: por que a definição de start bold text, F, end bold text, start subscript, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript, left parenthesis, y, comma, z, right parenthesis não inclui F, start subscript, 1, end subscript, a componente x de start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Porque ela representa a projeção de vetores start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, comma, z, right parenthesis em um plano paralelo ao plano y, z, e essa projeção implica ignorar o componente F, start subscript, 1, end subscript.
(Escolha B)
Porque só y e z variam em sua entrada.

[Resposta]

Verificação de conceito: dado um ponto left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no plano a seguir, O que start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, start bold text, F, end bold text, start subscript, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis representa?

Escolha todas as respostas aplicáveis:
(Escolha A)
Quanto o fluxo de fluido definido por start bold text, F, end bold text gira paralelo ao plano y, z próximo do ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
(Escolha B)
A componente x de start text, r, o, t, end text, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

[Resposta]

Definição dos componentes

E por que estou falando sobre projetar vetores e trajetórias de três dimensões em um plano bidimensional? Basicamente, é difícil pensar em três dimensões, então vale a pena você fazer tudo o que puder para moldar as coisas em duas dimensões de cada vez.

A importância da última verificação de conceito é que podemos descrever o componente x do rotacional tridimensional de start bold text, F, end bold text puramente em termos de um rotacional bidimensional da função start bold text, F, end bold text, start subscript, x, end subscript:

$\begin{aligned} \text{Componente $x$ do } \underbrace{ \text{rotacional}\,\textbf{F}(x, y, z) }_{\text{Vetor 3d}} = \underbrace{ \text{vetor 2d}\,\textbf{F}_x(y, z) }_{\text{Valor escalar}} \end{aligned}$

Nós também podemos remover o termo x do start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text multiplicando-o pelo vetor unitário na direção de x

$\hat{\textbf{i}} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]$

Isso significa que a nossa expressão fica assim:

$\begin{aligned} \big(\text{Rotacional}\,\textbf{F}(x, y, z)\big) \cdot \hat{\textbf{i}} = \text{Rotacional 2d}\,\textbf{F}_{x}(y, z) \end{aligned}$

Em termos da fórmula que você já conhece, isso explica por que o componente x do start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text tem a forma que tem,

$\begin{aligned} \; \text{Rotacional}\,\textbf{F}(x, y, z) = \overbrace{\left( \dfrac{\partial F_3}{\partial y} - \dfrac{\partial F_2}{\partial z} \right)}^{ \text{Rotacional 2d}\,\textbf{F}_{x}(y, z) }\hat{\textbf{i}} + \small \left( \dfrac{\partial F_1}{\partial z} - \dfrac{\partial F_3}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}$

Mas lembre-se, o ponto deste artigo é que o rotacional é uma daquelas operações engraçadas em que a fórmula que usamos para calculá-la não é sua definição. Nosso objetivo é encontrar uma definição de rotacional pela representação direta da rotação do fluído. Com isso em mente, o significado de representar o componente x do start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text usando um rotacional bidimensional é que podemos pegar a definição do limite integral de linha de start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text encontrado no último artigo, e usar isso para definir o componente x do start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text.

$\begin{aligned} \big( \text{rot}\; {\textbf{F}} {(x, y, z)} \big) \cdot {\hat{\textbf{i}}} \overbrace{=}^{\text{definição}} \lim_{\redE{A} \to 0} \left( \dfrac{1}{|\redE{A}|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$

start color #bc2612, A, end color #bc2612 é uma região bidimensional no plano perpendicular a start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, e passando pelo ponto left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis.
start color #e84d39, C, end color #e84d39 é a fronteira de start color #bc2612, A, end color #bc2612
A orientação de start color #e84d39, C, end color #e84d39 é determinada com base na regra da mão direita: coloque o dedão da sua mão direita na direção de start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, e feche os dedos. A direção que seus dedos apontam quando envolvem start color #e84d39, C, end color #e84d39 é a direção da integração.
vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, vertical bar representa a área de start color #bc2612, A, end color #bc2612
limit, start subscript, vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, vertical bar, \to, 0, end subscript indica que estamos considerando o limite em que start color #bc2612, A, end color #bc2612 encolhe para o ponto left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis no plano em que x é constante.

Embora isso vá desarrumar as coisas, por uma questão de clareza vai ajudar se nossa fórmula expressar o fato de que a região start color #bc2612, A, end color #bc2612 precisa sempre incluir o ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, e que é perpendicular a start color #0d923f, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f. Para fazer isso, vou escrever start color #bc2612, A, end color #bc2612 como índices start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, comma, start color #0d923f, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, end subscript

Isso significa que a nossa definição completa ficou assim:

$\begin{aligned} \big( \text{rot}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{i}}} \overbrace{=}^{\text{definição}} \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$

Essa é uma definição muito pesada, que assume muito conhecimento prévio do leitor. E isso foi só para um componente! A chave para compreender isso é:

Certifique-se de que você entendeu completamente a definição de rotação em duas dimensões.
Entenda como essa definição está aplicando o mesmo conceito a uma a um plano em um espaço tridimensional.
Certifique-se de que você entende por que um rotacional bidimensional de start bold text, F, end bold text, start subscript, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript deve representar o componente x do rotacional de start bold text, F, end bold text.

Definição completa

Obviamente, não há nada de especial com a direção x. Nós podemos definir as outras duas coordenadas de start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text de maneira similar:

$\begin{aligned} \big( \text{rotacional}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{j}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{j}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{j}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \big( \text{rot}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{k}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{k}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{k}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$

Verificação de conceito: o que start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, left parenthesis, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, comma, start color #0d923f, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, end subscript representa?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Uma região no plano que passa através do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05 que é paralelo ao plano x, z.
(Escolha B)
Uma região no plano y, z.

[Resposta]

Isso permite uma definição completa, já que cada componente de start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text é levado em conta.

Vetores normais unitários arbitrários

No entanto, é um pouco deselegante definir o rotacional com três formulas diferentes. Quando o rotacional é usado na pratica, é comum calcular o produto escalar entre o vetor start text, r, o, t, end text, start bold text, F, end bold text e um outro vetor arbitrário qualquer. Desse modo, é muito útil ter uma definição que permita a interpretação do produto escalar entre start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text e qualquer vetor, não somente apenas start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top e start bold text, k, end bold text, with, hat, on top.

Pense em um plano arbitrário que corta o campo vetorial start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Suponha que esse plano seja, por definição, perpendicular a algum vetor unitário start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, tal como

$\begin{aligned} \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \left[ \begin{array}{c} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ \end{array} \right] \end{aligned}$

Agora imagine replicar tudo o que fizemos anteriormente com o plano x, equals, x, start subscript, 0, end subscript.

Considerando os vetores dos quais se originaram os pontos neste plano.
Projete-os no plano
Meça o rotacional bidimensional resultante naquele plano.

Isso vai nos permitir definir o componente do rotacional tridimensional na direção start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f:

$\begin{aligned} \big( \text{rot}\; \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$

[Descrição de termos ]

Essa é a definição de rotacional com a qual você provavelmente se deparará em outros textos. É uma definição estranha, já que em vez de definir o vetor start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text em si, ela apenas define qual será o produto escalar entre esse vetor e qualquer outra coisa.

Mas é por isso que faz sentido fazer as coisas dessa maneira, mesmo se parecer complicado: rotação é uma ideia intrinsecamente bidimensional, e quando tentamos falar sobre rotação em três dimensões (por exemplo, a rotação da Terra) somos de alguma forma forçados a usar vetores. Um dado vetor de rotação está dizendo "a rotação está realmente acontecendo em algum plano bidimensional, e eu estou apenas dizendo qual plano é."

Quando se trata de rotação de fluido, o que realmente queremos é uma maneira de considerar qualquer vetor de rotação possível (que é o mesmo que dizer qualquer plano possível em que a rotação ocorra) e perguntar "quanto a rotação de fluido perto de um ponto dado se parece com esse vetor?". O rotacional nos dá uma forma de responder a essa pergunta. Para um determinado vetor, que representa uma rotação, quando você pontua esse vetor contra o rotacional de um fluxo de fluido, ela lhe quanto a rotação de fluido assemelha-se à rotação representada por esse vetor.

Resumo

Para definir o rotacional em três dimensões, levamos em consideração duas dimensões de cada vez. Projetamos o fluxo de fluido em um único plano e medimos o rotacional bidimensional naquele plano.
Usando a definição formal do rotacional em duas dimensões, isso nos dá uma maneira de definir cada componente do rotacional tridimensional. Por exemplo, a componente em x é definida assim:
$\begin{aligned} \big( \text{rot}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{i}}} \overbrace{=}^{\text{definição}} \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}$
Você pode substituir start color #0d923f, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f por qualquer vetor unitário, assim definindo qual componente do start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, F, end bold text deve ser em qualquer direção.

Parabéns!

Entender totalmente essa definição complicada é um sinal de que você compreendeu totalmente integrais, rotacionais e lineares, cada um deles um conceito formidável por si só.

Além disso, essa definição irá prepará-lo muito bem para entender o teorema de Stokes, um tópico que está no pináculo do cálculo multivariável.

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