If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Definição formal de rotacional em três dimensões

Após aprender como o rotacional bidimensional é definido, você está pronto para aprender a definição formal de rotacional tridimensional. Isso é avançado, então esteja preparado para ir devagar.

Conhecimentos prévios

Para entender este artigo é realmente necessário entender os dois pré-requisitos. A definição formal da curva em três dimensões tem tantas peças móveis que ter uma noção mental sólida da analogia bidimensional, assim como o conceito tridimensional que estamos tentando compreender, é crucial.
Em particular, se você não acabou de ler o artigo que dá a definição formal de rotacional em duas dimensões, eu recomendo dar uma olhada rápida nele agora, mesmo que você já o tenha lido antes, e mesmo que apenas o resumo.

O que estamos construindo

  • Definimos rotacional tridimensional um componente por vez, examinando os componentes de rotação de fluido que são paralelos ao plano yz, ao plano xz e ao plano xy.
  • Você pode capturar todas as três definições de rotF, coordenada por coordenada, definindo qual deve ser o produto escalar entre rotF e qualquer vetor unitário que n^ venha a ser.
    (rotF(x,y,z))n^=lim|A((x,y,z),n^)|0(1|A((x,y,z),n^)|CFdr)

Limitando nossa visão a um plano

O rotacional em três dimensões é uma coisa bastante complicada de se pensar. Por exemplo, sendo F(x,y,z) um campo vetorial tridimensional:
F(x,y,z)=[F1(x,y,z)F2(x,y,z)F3(x,y,z)]
Um exemplo de como isso poderia parecer é mostrado no vídeo abaixo.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Agora imagine o fluxo tridimensional de um fluido que F poderia representar. Como você sabe, a curvaF(x0,y0,z0) é uma maneira de medir a rotação no fluido próximo ao ponto (x0,y0,z0), mas esse é um conceito complicado para quantificar de maneira rigorosa.
Existem algumas boas analogias para conseguir uma intuição melhor sobre o rotacional. Uma das minhas favoritas é pensar nele como uma pequena bola de tênis com centro no ponto (x0,y0,z0), e como o fluxo do fluido que a cerca poderia causar sua rotação. Nessa analogia, rotacionalF(x0,y0,z0) nos dá o vetor resultante da rotação da bola de tênis.
No entanto, essas descrições são limitadas quando o objetivo é definir formalmente o que é o rotacional; para capturar esta intuição com rigor matemático.
Nossa estratégia para continuar é limitar nossa visão da rotação em um plano específico. Por exemplo, o próximo vídeo mostra um plano que representa um valor x constante, especificamente, x=1,6, assim como os vetores de F que têm origem nesse plano.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Em fórmulas, você poderia descrever isso como todos os vetores na forma
F(1,6,y,z)
Aqui, y e z variam livremente. Quando projetamos esses vetores no plano e os tornamos planos como uma foto, temos algo parecido com isso:
Note que os eixos são rotulados como "y" e "z", porque esse plano era originalmente paralelo ao plano yz no espaço tridimensional. Nós poderíamos descrever esse campo vetorial com uma nova função bidimensional F1.6(y,z) definida da seguinte maneira:
F1,6(y,z)=[F2(1,6;y;z)F3(1,6;y;z)]
De modo geral, se cortarmos o campo vetorial com qualquer plano na forma x=x0 para alguma constante x0, e então projetarmos os vetores decorrentes desse plano sobre o próprio plano, teremos um campo vetorial bidimensional descrito por uma função parecida com essa:
Fx0(y,z)=[F2(x0,y,z)F3(x0,y,z)]
Verificação de conceito: por que a definição de Fx0(y,z) não inclui F1, a componente x de F(x,y,z)?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: dado um ponto (y0,z0) no plano a seguir, O que rotacional 2dFx0(y0,z0) representa?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Definição dos componentes

E por que estou falando sobre projetar vetores e trajetórias de três dimensões em um plano bidimensional? Basicamente, é difícil pensar em três dimensões, então vale a pena você fazer tudo o que puder para moldar as coisas em duas dimensões de cada vez.
A importância da última verificação de conceito é que podemos descrever o componente x do rotacional tridimensional de F puramente em termos de um rotacional bidimensional da função Fx:
Componente x do rotacionalF(x,y,z)Vetor 3d=vetor 2dFx(y,z)Valor escalar
Nós também podemos remover o termo x do rotacionalF multiplicando-o pelo vetor unitário na direção de x
i^=[100]
Isso significa que a nossa expressão fica assim:
(RotacionalF(x,y,z))i^=Rotacional 2dFx(y,z)
Em termos da fórmula que você já conhece, isso explica por que o componente x do rotacionalF tem a forma que tem,
RotacionalF(x,y,z)=(F3yF2z)Rotacional 2dFx(y,z)i^+(F1zF3x)j^+(F2xF1y)k^
Mas lembre-se, o ponto deste artigo é que o rotacional é uma daquelas operações engraçadas em que a fórmula que usamos para calculá-la não é sua definição. Nosso objetivo é encontrar uma definição de rotacional pela representação direta da rotação do fluído. Com isso em mente, o significado de representar o componente x do rotacionalF usando um rotacional bidimensional é que podemos pegar a definição do limite integral de linha de rotacional 2d encontrado no último artigo, e usar isso para definir o componente x do rotacionalF.
(rotF(x,y,z))i^=definiçãolimA0(1|A|CFdr)
  • A é uma região bidimensional no plano perpendicular a i^, e passando pelo ponto (x,y,z).
  • C é a fronteira de A
  • A orientação de C é determinada com base na regra da mão direita: coloque o dedão da sua mão direita na direção de i^, e feche os dedos. A direção que seus dedos apontam quando envolvem C é a direção da integração.
  • |A| representa a área de A
  • lim|A|0 indica que estamos considerando o limite em que A encolhe para o ponto (x,y,z) no plano em que x é constante.
Embora isso vá desarrumar as coisas, por uma questão de clareza vai ajudar se nossa fórmula expressar o fato de que a região A precisa sempre incluir o ponto (x,y,z), e que é perpendicular a i^. Para fazer isso, vou escrever A como índices A(x,y,z),i^
Isso significa que a nossa definição completa ficou assim:
(rotF(x,y,z))i^=definiçãolim|A((x,y,z),i^)|0(1|A((x,y,z),i^)|CFdr)
Essa é uma definição muito pesada, que assume muito conhecimento prévio do leitor. E isso foi só para um componente! A chave para compreender isso é:
  • Certifique-se de que você entendeu completamente a definição de rotação em duas dimensões.
  • Entenda como essa definição está aplicando o mesmo conceito a uma a um plano em um espaço tridimensional.
  • Certifique-se de que você entende por que um rotacional bidimensional de Fx0 deve representar o componente x do rotacional de F.

Definição completa

Obviamente, não há nada de especial com a direção x. Nós podemos definir as outras duas coordenadas de rotacionalF de maneira similar:
(rotacionalF(x,y,z))j^=lim|A((x,y,z),j^)|0(1|A((x,y,z),j^)|CFdr)
(rotF(x,y,z))k^=lim|A((x,y,z),k^)|0(1|A((x,y,z),k^)|CFdr)
Verificação de conceito: o que A((x,y,z),j^) representa?
Escolha 1 resposta:

Isso permite uma definição completa, já que cada componente de rotacionalF é levado em conta.

Vetores normais unitários arbitrários

No entanto, é um pouco deselegante definir o rotacional com três formulas diferentes. Quando o rotacional é usado na pratica, é comum calcular o produto escalar entre o vetor rotF e um outro vetor arbitrário qualquer. Desse modo, é muito útil ter uma definição que permita a interpretação do produto escalar entre rotacionalF e qualquer vetor, não somente apenas i^, j^ e k^.
Pense em um plano arbitrário que corta o campo vetorial F(x,y,z):
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Suponha que esse plano seja, por definição, perpendicular a algum vetor unitário n^, tal como
n^=[1/31/31/3]
Agora imagine replicar tudo o que fizemos anteriormente com o plano x=x0.
  • Considerando os vetores dos quais se originaram os pontos neste plano.
  • Projete-os no plano
  • Meça o rotacional bidimensional resultante naquele plano.
Isso vai nos permitir definir o componente do rotacional tridimensional na direção n^:
(rotF(x,y,z))n^=lim|A((x,y,z),n^)|0(1|A((x,y,z),n^)|CFdr)
Essa é a definição de rotacional com a qual você provavelmente se deparará em outros textos. É uma definição estranha, já que em vez de definir o vetor rotacionalF em si, ela apenas define qual será o produto escalar entre esse vetor e qualquer outra coisa.
Mas é por isso que faz sentido fazer as coisas dessa maneira, mesmo se parecer complicado: rotação é uma ideia intrinsecamente bidimensional, e quando tentamos falar sobre rotação em três dimensões (por exemplo, a rotação da Terra) somos de alguma forma forçados a usar vetores. Um dado vetor de rotação está dizendo "a rotação está realmente acontecendo em algum plano bidimensional, e eu estou apenas dizendo qual plano é."
Quando se trata de rotação de fluido, o que realmente queremos é uma maneira de considerar qualquer vetor de rotação possível (que é o mesmo que dizer qualquer plano possível em que a rotação ocorra) e perguntar "quanto a rotação de fluido perto de um ponto dado se parece com esse vetor?". O rotacional nos dá uma forma de responder a essa pergunta. Para um determinado vetor, que representa uma rotação, quando você pontua esse vetor contra o rotacional de um fluxo de fluido, ela lhe quanto a rotação de fluido assemelha-se à rotação representada por esse vetor.

Resumo

  • Para definir o rotacional em três dimensões, levamos em consideração duas dimensões de cada vez. Projetamos o fluxo de fluido em um único plano e medimos o rotacional bidimensional naquele plano.
  • Usando a definição formal do rotacional em duas dimensões, isso nos dá uma maneira de definir cada componente do rotacional tridimensional. Por exemplo, a componente em x é definida assim:
    (rotF(x,y,z))i^=definiçãolim|A((x,y,z),i^)|0(1|A((x,y,z),i^)|CFdr)
  • Você pode substituir i^ por qualquer vetor unitário, assim definindo qual componente do rotacionalF deve ser em qualquer direção.

Parabéns!

Entender totalmente essa definição complicada é um sinal de que você compreendeu totalmente integrais, rotacionais e lineares, cada um deles um conceito formidável por si só.
Além disso, essa definição irá prepará-lo muito bem para entender o teorema de Stokes, um tópico que está no pináculo do cálculo multivariável.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.