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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 2: Teorema de Green- Prática envolvendo curvas simples, fechadas, conectadas e suaves por partes
- Demonstração do teorema de Green (parte 1)
- Demonstração do teorema de Green (parte 2)
- Teorema de Green - exemplo 1
- Teorema de Green - exemplo 2
- Forma tangencial do teorema de Green
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Demonstração do teorema de Green (parte 1)
Parte 1 da demonstração do teorema de Green. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, vamos começar
a provar o Teorema de Green. E, para isso, eu tenho um
plano de coordenadas aqui. Nele eu tenho uma curva, desta forma. E digamos que estamos percorrendo-a
no sentido anti-horário. E, claro, esta curva, eu posso chamá-la
de curva "C". Além disso, temos também um
campo vetorial que eu vou chamar de P(x, y) que é igual a P(x, y)
na direção "i". Isso porque este campo vetorial
tem uma forma diferente. Suas coordenadas são representadas
por múltiplos do vetor unitário "i". O que significa que o campo vetorial
não possui coordenadas na direção "j". Seria algo mais ou menos
assim, na direção "i" e que também pode ter
o sentido contrário, mas sempre paralelo ao eixo "x". Nenhum vetor vai para a diagonal,
para cima, para baixo, apenas para a direita ou esquerda. E o que eu quero fazer agora é calcular
a integral de linha desta curva fechada "C"
de "P" vezes "dr". E lembrando que "dr" é a mesma coisa que "dx"
na direção "i" mais o "dy" na direção "j". Espera aí, eu não posso escrever dr = dx/dt vezes "dt" na direção "i"
mais dy/dt vezes "dt" na direção "j"? Sim, você também pode escrever o "x"
dependendo de um outro parâmetro "t". Mas note que podemos cancelar
este "dt" com este, e este aqui com este aqui. E quando fazemos isso,
ficamos somente com dx vezes i,
mais dy vezes j. Isso é algo que já vimos. Mas eu vou deixar desta forma, porque aí não precisaremos
deste parâmetro "t" aqui. Continuando, podemos
reescrever esta integral como a integral ao longo do caminho
"C" de P(x, y) vezes dx. Já que o "dr" é igual a
"dx" vezes "i" mais "dy" vezes "j". E como não tem uma componente
na direção "j", podemos colocar somente "dx" que está indicando que
o vetor está na direção "i". Agora, olhe para esta curva "C"
e observe que ela tem um ponto máximo
e um ponto mínimo. O ponto mínimo está aqui em
x = a, e o ponto máximo está em
x = b. Note também que esta curva "C"
pode ser dividida em duas partes, em duas funções de "x". Esta parte de baixo,
eu vou chamar de y₁(x). E a parte de cima,
eu vou chamar de y₂(x). E, por causa disso, você pode percorrer dois
caminhos diferentes para caminhar entre os pontos. O primeiro é partindo de
x = a e caminhando através de y(x)
até x = b. Ou seja, você está andando
entre estes dois pontos. E o outro, partindo de
x = b, percorrendo y₂(x)
até x = a. Desta forma, percorremos
toda a curva "C". Por causa disso, podemos reescrever
esta integral como a integral de "a" até "b"
de P(x, y₁(x)) vezes "dx". Já que esta parte é uma função de "x". O que isso significa? Simples, onde tiver o "y",
vamos colocar y₁(x). Este é o primeiro trajeto. Ou seja, esta integral se refere
a esta parte da curva, que eu vou chamar de "C₁", "C₁" aqui também. E somamos isso com a
outra parte da curva "C". Então, mais a integral
de "b" até "a", de P(x, y₂(x)) vezes "dx". Ou seja, essa integral se refere
a esta parte de cima da curva que eu vou chamar de "C₂", "C₂" aqui também. O ideal é juntar "C₁" e "C₂" para ficar somente com
uma curva, correto? E como podemos fazer isso? Primeiro, podemos começar invertendo
estes limites de integração. E, para fazer isso, nós devemos
colocar um menos aqui. Ou seja, aqui vai virar menos. E nós trocamos os limites de integração. E em que isso ajuda? Simples, agora que os limites
de ambas integrais são iguais, nós podemos reescrever esta
subtração com uma única integral. Ou seja, podemos reescrever
como a integral de "a" até "b" de P(x, y₁(x)) - P(x, y₂(x)), e multiplicamos tudo isso por "dx". E aqui você pode fazer uma manipulação
algébrica bastante interessante. Você pode inverter esta subtração. Mas, como? Simples, eu vou colocar aqui
a integral de "a" até "b" de P(x, y₂(x)) - P(x, y₁(x)). E multiplicamos tudo isso por "dx". Do jeito que está,
você alterou este resultado. Para manter o mesmo, você pode colocar o menos aqui
antes da integral. Agora, sim, se você multiplicar
tudo isso por -1 vai ficar com o mesmo resultado
que está aqui, correto? E por que eu fiz isso? Simples! Desta forma, nós podemos
reescrever esta integral como menos a integral
de "a" até "b" de P(x, y) avaliada em y = y(x)
até y = y₂(x). Ou seja, se você aplicar
o Teorema Fundamental do Cálculo aqui, o que significa que você pega o y = y₂(x) e substitui aqui e subtrai,
substituindo o y = y₁(x), você vai chegar neste mesmo resultado. E, claro, tem um "dx"
aqui ainda. E caso a derivada deste P(x, y) exista, nós podemos dizer que esta parte aqui é a mesma coisa que a integral
de y₁(x) até y₂(x) da derivada parcial de "P"
em relação a "y", "dy". E ainda tem um menos a integral
de "a" até "b" aqui do lado de fora. E tudo isso está sendo
multiplicado por um "dx". Ou seja, estas duas expressões
são equivalentes. Porque, lembre-se, para resolver
uma integral dupla, nós resolvemos primeiro
a integral interna. Ou seja, se resolvermos isso,
vamos ficar com P(x, y). E aplicando Teorema Fundamental
do Cálculo, substituímos estes dois limites. Se você não lembra como
resolver uma integral dupla, eu sugiro que você dê uma olhada
nos vídeos a respeito deste assunto na Khan Academy. Basicamente, o que estamos fazendo aqui
é a volta da resolução. Mas por que eu fiz isso? Simples, aqui nós estamos
dizendo que a derivada de uma função "P"
em relação a "y" existe. Deixe-me colocar um
plano tridimensional aqui para entendermos isso melhor. Aqui o eixo "x", "y" e "z". Então, você pode imaginar isso
como uma superfície neste plano aqui. É a derivada parcial de "P"
em relação a "y". Depois disso, nós fazemos a integral
dupla desta superfície. Ou seja, em torno da região que tem
a fronteira y₁(x) até y₂(x). Ou seja, aqui nós temos a curva "C", que é dividida em duas partes, ou seja, você pega toda esta área aqui e depois dá uma altura
para cada ponto dela. Ou seja, cada ponto desta área, você acaba dando uma altura
que toca na superfície rosa. Basicamente, o que eu estou querendo dizer é que esta integral dupla
representa um volume, e esta área dentro da curva "C", nós podemos chamar de região "R". O que eu quero dizer é que nós
podemos simplificar a integral de linha ao longo da curva "C" de P(x, y) vezes "dx", como a integral dupla sobre a região "R" da derivada parcial
de "P" em relação a "y", vezes "dy" vezes "dx". Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!