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Transcrição de vídeo

Digamos que há uma curva no plano xy. Este é meu eixo y, este é meu eixo x, e minha curva se assemelha a isso. Vamos fazer uma curva um pouco arbitrária e vamos dizer que vamos em sentido antihorário ao longo do nosso trajeto. Podemos chamar esta curva -- em sentido antihorário -- curva C. Também vamos dizer que temos um campo vetorial. E nosso campo vetorial será um pouco incomum; vou chamá-lo de p. p de xy. Ele apresenta um componente i, ou todos os seus vetores são apenas múltiplos do vetor unitário i. Então temos P maiúsculo de xy vezes o vetor unitário i. Não há componente j, então você deve ver este campo vetorial, todos os vetores, que são múltiplos do vetor unitário i. Eles também podem ser múltiplos negativos, podendo ir neste sentido. Mas eles não vão em sentido diagonal ou para cima. Todos vão da esquerda para direita ou da direita para a esquerda. Meu campo vetorial se assemelhará a isso. Agora quero desenhar uma integral de linha sobre uma curva fechada-- a curva fechada c ou sobre o trajeto fechado c --de p vezes dr, que é a maneira padrão de se calcular uma integral de linha. E nós já vimos o que é dr. dr é igual a dx vezes i mais dy vezes o vetor unitário j. E você pode se perguntar, dx não é dt vezes dt? dr não pode ser escrito como dx dt vezes dti mais dy, dt vezes dtj? Pode, mas se você imaginar estes diferenciais cancelariam tudo, e você ficaria com apenas dx e dy, já vimos várias vezes. Vou deixá-lo desta forma, porque se formos cuidadosos, não teremos de lidar com o terceiro parâmetro, t. Vamos dar uma olhada nele nesta forma tendo apenas os dx's e os dy's. Esta integral pode ser reescrita como uma integral de linha, a curva c-- vou desenhá-la aqui embaixo. A integral de linha sobre o trajeto da curva c de p vezes dr. Pegamos o produto de cada um dos coeficientes, digamos que o coeficiente do componente i, então pegamos p-- vou fazê-lo em verde, na verdade roxo -- então temos p de xy vezes dx mais-- bem, não existe zero vezes j vezes dy; zero vezes dy vai ser igual a zero --então nossa integral de linha será reduzida a isto. Esta integral é igual a esta integral original aqui em cima, então nós literalmente retiramos a integral de linha da curva. Como eu disse, com um pouco de sorte não teremos que trabalhar com a terceira variável, t; podemos resolver esta integral apenas nos termos de x. Vamos ver se realmente podemos fazer isso. Vamos dar uma olhada nos pontos x mínimo e máximo. Este é nosso ponto x mínimo. Vamos chamá-lo de a. Vamos chamar nosso ponto x máximo de b. Podemos quebrar nossa curva em duas funções de x. y é função de x. Esta função aqui embaixo chamaremos de y um de x. Esta é uma curva padrão; você viu quando trabalhamos cálculo padrão, você pode imaginar que isto é f de x e esta é uma função de x. E esta é y dois de x. Teremos isto aqui. Você pode imaginar dois trajetos: um definido por y um de x-- vou fazê-lo em uma cor diferente, magenta --um definido por y um de x conforme vamos de x igual a a até x igual a b, e o outro definido por y dois de x conforme vamos de x igual a b até x igual a a. Esta é nossa curva. Então nós podemos reescrever esta integral-- que é a mesma coisa que aquela integral --assim como isto é igual à integral-- inicialmente faremos o primeiro trajeto --de x partindo de a até b de p de x. E posso dizer p de x e y, mas sabemos até então que este trajeto y é uma função de x. Então nós falamos x e y um de x. Onde nós vemos um y nós o substituímos por y um de x, dx. Isto se trata do primeiro trajeto; vou fazê-lo na mesma cor. Podemos imaginar isto como c um. Esta é a primeira metade da nossa curva-- bem, não é exatamente a metade --mas nos leva deste ponto até este outro. Agora queremos completar o círculo. Talvez eu faça isso, vou fazê-lo em amarelo. Isto vai ser igual a -- vou ter que adicionar estes dois -- mais a integral a partir de x igual a b até x igual a a de p de x. Não vou mudar a cor. E agora y vai ser y dois de x. Onde você ver um y, você pode substituí-lo por y dois de x ao longo da curva-- dx. Agora está ficando interessante e você sabe aonde quero chegar. Esta é a curva c dois. Também acho que você gostará se você tiver a união de c um e c dois, pois a curva estará completa. Então vamos tentar simplificar um pouco mais esta integral. Bem, uma coisa que queremos é tornar seus pontos finais os mesmos. Então se você trocar a e b aqui tornará a integral negativa. Para isso, você transforma isto em b e isto em a e então troca o sinal positivo pelo sinal negativo. Agora podemos reescrever tudo isto como sendo igual a integral de a a b de p de x e y um de x menos p de x e y dois de x, e então tudo isso vezes dx. Vou escrever isto em uma outra cor. Agora vou fazer uma coisa um pouco arbitrária, mas você vai entender o por quê fiz no fim deste vídeo, e é uma operação bem simples. Vou trocar estes dois. Então vou, de modo simples, multiplicar tudo por menos um, ou multiplicar e dividir por menos um Assim, posso multiplicar isto por menos um e o que está fora por menos um, e não terei mudado a integral; eu estou multiplicando por menos um duas vezes. Assim se eu troco este dois, se eu multiplico o que está dentro por menos um, isto vai ser igual a-- faço o mesmo com o que está do lado de fora da integral, a a b. Se eu multiplico o que está dentro-- vou fazer um dx aqui fora --se eu multiplicar o que está dentro por menos um, estes dois caras mudam. Assim isto se torna p de x de y dois de x. E então você vai ter menos p de x e y um de x. A escrita está ficando bagunçada. Mas eu posso simplesmente multiplicar o que está dentro por menos um. Eu não quero mudar a integral, então multipliquei o que está dentro por menos um, e o que está fora por menos um também. Desde que eu multipliquei por menos um duas vezes estas coisas são iguais. Ou você pode dizer que isto é o negativo disto. Você vai gostar que eu não tenha mudado a integral ao todo, numericamente. Eu multipliquei o que está dentro e o que está fora por menos um. E agora meu próximo passo pode parecer um pouco estranho, mas acredito que você irá gostar. Pode parecer óbvio se você tiver feito recentemente algumas integrais duplas. Isto pode ser reescrito como menos a integral de a a b de-- vou fazer em uma nova cor --da função p de x, y avaliado em y dois de x menos-- vou fazer de modo bem claro; este y é igual a y dois de x --menos esta função avaliada como y igual a y um de x. E, claro, tudo isto vezes dx. Esta sentença e o que nós vimos aqui-- esta sentença aqui --são completamente idênticas. Então, se nós assumimos que uma derivada parcial de P maiúsculo em relação ao y existe, espero que você perceba-- eu vou focar neste espaço porque não quero confundir você. Vou escrever fora. Assim, isto vai ser igual a -- este é um tipo de resolução clara, e nós começamos a desenvolvê-lo, o que provavelmente nos levará a fazer um novo vídeo, -- então fazemos o dx fora. Se assumimos que P maiúsculo tem uma derivada parcial, Isto aqui é exatamente o mesmo que a derivada parcial de P em relação à y, dy, a antiderivada disto a partir de y um de x para y dois de x. Quero que você se sinta bem ao saber que estas duas coisas são equivalentes. E para perceber que elas são equivalentes, você tem apenas que começar aqui e ir para isto. Estamos acostumados a ver uma integral dupla como esta, então como primeiro passo dizemos OK, para resolver esta integral dupla, começamos pela integral do lado de dentro, então vamos calcular a antiderivada disto em relação à y. Se você calcular a antiderivada da parcial de p em relação à y, você vai terminar com p. E como esta é uma integral definitiva, os limites estão em termos de x, você avaliará y como igual a y dois de x, e vai subtrair que y é igual a y um de x. Normalmente começamos com algo como isto, e vamos para algo como isto. Este é um tipo incomum que nós começamos a resolver, começamos com a resolução da integral definitiva, e então nós gradativamente voltamos para a integral definitiva. Assim, espero que você tenha percebido que isto é verdadeiro, que é um jeito de ir na direção inversa do que costumamos. E se você perceber isto, então nós estabelecemos uma resolução bem clara. Porque o que é isto aqui? Vou voltar, ver se consigo encaixar tudo. Tenho alguma função-- e assumo a parcial de P em relação a y --mas eu tenho alguma função definida sobre o plano xy. Você pode imaginar que estamos trabalhando em três dimensões agora. Vou desenhar um pouco mais nítido. Então, aqui está y, aqui está x, aqui está z e você pode imaginar isto como alguma superfície; é uma parcial de P em relação à x. Assim, isto é uma superfície no plano xy. O que vamos fazer? Vamos obter a integral dupla a partir desta superfície, próximo a esta região. Os limites da região em termos de y são definidas por y dois e y um de x. Assim você tem esta curva literalmente. Na parte superior temos y dois e, na inferior, y um. E desconsideramos o volume acima. Assim se você imaginar com a base-- todo chão disto será a área do interior desta curva, e então a altura será a função parcial de P em relação à y. Vai ser um pouco difícil desenhar, mas este é o volume, se quiser ver deste modo. A resolução mais clara aqui é, se você chamar esta região de r, nós simplificamos a integral de linha. Esta é uma especial. Ela tem um componente x, o campo vetor, mas nós simplificamos esta integral de linha para ser equivalente a-- vou escrever esta integral de linha para tornar a resolução mais clara. Estabelecemos que isto, que é o mesmo que a original. A integral de linha fechada ao redor da curva c de p de xy, dx. nós estabelecemos que é o mesmo que a integral dupla sobre a região r-- esta é a região r --da parcial de P em relação a y. Poderíamos escrever dy, dx, ou da, não importa, mas isto é uma integral dupla sobre aquela região. O mais claro a se fazer aqui é usar o campo vetorial que tem apenas um componente x, estavámos aptos a ligar esta integral à integral dupla sobre a região-- e eu esqueci algo muito importante. Nós tinhámos um sinal negativo aqui fora. Podemos até mesmo colocar o menos aqui, acredito que você entendeu a ideia principal. No próximo vídeo, vou fazer exatamente a mesma coisa com o campo vetorial que tem vetores apenas no sentido y. Então ligaremos os dois e finalizaremos com o Teorema de Green. [Legendado por Raiza Carlos de Souza]