Demonstração do teorema de Green (parte 1)

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos começar a provar o Teorema de Green. E, para isso, eu tenho um plano de coordenadas aqui. Nele eu tenho uma curva, desta forma. E digamos que estamos percorrendo-a no sentido anti-horário. E, claro, esta curva, eu posso chamá-la de curva "C". Além disso, temos também um campo vetorial que eu vou chamar de P(x, y) que é igual a P(x, y) na direção "i". Isso porque este campo vetorial tem uma forma diferente. Suas coordenadas são representadas por múltiplos do vetor unitário "i". O que significa que o campo vetorial não possui coordenadas na direção "j". Seria algo mais ou menos assim, na direção "i" e que também pode ter o sentido contrário, mas sempre paralelo ao eixo "x". Nenhum vetor vai para a diagonal, para cima, para baixo, apenas para a direita ou esquerda. E o que eu quero fazer agora é calcular a integral de linha desta curva fechada "C" de "P" vezes "dr". E lembrando que "dr" é a mesma coisa que "dx" na direção "i" mais o "dy" na direção "j". Espera aí, eu não posso escrever dr = dx/dt vezes "dt" na direção "i" mais dy/dt vezes "dt" na direção "j"? Sim, você também pode escrever o "x" dependendo de um outro parâmetro "t". Mas note que podemos cancelar este "dt" com este, e este aqui com este aqui. E quando fazemos isso, ficamos somente com dx vezes i, mais dy vezes j. Isso é algo que já vimos. Mas eu vou deixar desta forma, porque aí não precisaremos deste parâmetro "t" aqui. Continuando, podemos reescrever esta integral como a integral ao longo do caminho "C" de P(x, y) vezes dx. Já que o "dr" é igual a "dx" vezes "i" mais "dy" vezes "j". E como não tem uma componente na direção "j", podemos colocar somente "dx" que está indicando que o vetor está na direção "i". Agora, olhe para esta curva "C" e observe que ela tem um ponto máximo e um ponto mínimo. O ponto mínimo está aqui em x = a, e o ponto máximo está em x = b. Note também que esta curva "C" pode ser dividida em duas partes, em duas funções de "x". Esta parte de baixo, eu vou chamar de y₁(x). E a parte de cima, eu vou chamar de y₂(x). E, por causa disso, você pode percorrer dois caminhos diferentes para caminhar entre os pontos. O primeiro é partindo de x = a e caminhando através de y(x) até x = b. Ou seja, você está andando entre estes dois pontos. E o outro, partindo de x = b, percorrendo y₂(x) até x = a. Desta forma, percorremos toda a curva "C". Por causa disso, podemos reescrever esta integral como a integral de "a" até "b" de P(x, y₁(x)) vezes "dx". Já que esta parte é uma função de "x". O que isso significa? Simples, onde tiver o "y", vamos colocar y₁(x). Este é o primeiro trajeto. Ou seja, esta integral se refere a esta parte da curva, que eu vou chamar de "C₁", "C₁" aqui também. E somamos isso com a outra parte da curva "C". Então, mais a integral de "b" até "a", de P(x, y₂(x)) vezes "dx". Ou seja, essa integral se refere a esta parte de cima da curva que eu vou chamar de "C₂", "C₂" aqui também. O ideal é juntar "C₁" e "C₂" para ficar somente com uma curva, correto? E como podemos fazer isso? Primeiro, podemos começar invertendo estes limites de integração. E, para fazer isso, nós devemos colocar um menos aqui. Ou seja, aqui vai virar menos. E nós trocamos os limites de integração. E em que isso ajuda? Simples, agora que os limites de ambas integrais são iguais, nós podemos reescrever esta subtração com uma única integral. Ou seja, podemos reescrever como a integral de "a" até "b" de P(x, y₁(x)) - P(x, y₂(x)), e multiplicamos tudo isso por "dx". E aqui você pode fazer uma manipulação algébrica bastante interessante. Você pode inverter esta subtração. Mas, como? Simples, eu vou colocar aqui a integral de "a" até "b" de P(x, y₂(x)) - P(x, y₁(x)). E multiplicamos tudo isso por "dx". Do jeito que está, você alterou este resultado. Para manter o mesmo, você pode colocar o menos aqui antes da integral. Agora, sim, se você multiplicar tudo isso por -1 vai ficar com o mesmo resultado que está aqui, correto? E por que eu fiz isso? Simples! Desta forma, nós podemos reescrever esta integral como menos a integral de "a" até "b" de P(x, y) avaliada em y = y(x) até y = y₂(x). Ou seja, se você aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo aqui, o que significa que você pega o y = y₂(x) e substitui aqui e subtrai, substituindo o y = y₁(x), você vai chegar neste mesmo resultado. E, claro, tem um "dx" aqui ainda. E caso a derivada deste P(x, y) exista, nós podemos dizer que esta parte aqui é a mesma coisa que a integral de y₁(x) até y₂(x) da derivada parcial de "P" em relação a "y", "dy". E ainda tem um menos a integral de "a" até "b" aqui do lado de fora. E tudo isso está sendo multiplicado por um "dx". Ou seja, estas duas expressões são equivalentes. Porque, lembre-se, para resolver uma integral dupla, nós resolvemos primeiro a integral interna. Ou seja, se resolvermos isso, vamos ficar com P(x, y). E aplicando Teorema Fundamental do Cálculo, substituímos estes dois limites. Se você não lembra como resolver uma integral dupla, eu sugiro que você dê uma olhada nos vídeos a respeito deste assunto na Khan Academy. Basicamente, o que estamos fazendo aqui é a volta da resolução. Mas por que eu fiz isso? Simples, aqui nós estamos dizendo que a derivada de uma função "P" em relação a "y" existe. Deixe-me colocar um plano tridimensional aqui para entendermos isso melhor. Aqui o eixo "x", "y" e "z". Então, você pode imaginar isso como uma superfície neste plano aqui. É a derivada parcial de "P" em relação a "y". Depois disso, nós fazemos a integral dupla desta superfície. Ou seja, em torno da região que tem a fronteira y₁(x) até y₂(x). Ou seja, aqui nós temos a curva "C", que é dividida em duas partes, ou seja, você pega toda esta área aqui e depois dá uma altura para cada ponto dela. Ou seja, cada ponto desta área, você acaba dando uma altura que toca na superfície rosa. Basicamente, o que eu estou querendo dizer é que esta integral dupla representa um volume, e esta área dentro da curva "C", nós podemos chamar de região "R". O que eu quero dizer é que nós podemos simplificar a integral de linha ao longo da curva "C" de P(x, y) vezes "dx", como a integral dupla sobre a região "R" da derivada parcial de "P" em relação a "y", vezes "dy" vezes "dx". Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!