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Transcrição de vídeo

Quando paramos no último vídeo, nós expressamos nossa integral da curva em volta do limite da nossa superfície. Então esse é f.dr, onde nosso caminho é esse limite bem aqui-- esse caminho c. Tínhamos descrito em termos de uma integral da curva em torno desse limite -- em torno de c1; que é o limite da região R. E a razão disso ser valioso pra gente, é que agora nós podemos aplicar diretamente o teorema de Green. Para transformarmos em uma integral dupla sobre essa região bem aqui -- que é a região que está limitada. Então vamos fazer isso. Estamos apenas aplicando o teorema de Green aqui. Na verdade, vou separar essa parte aqui. Isso foi só algo que escrevemos para nos lembrarmos no último vídeo. Então deixa eu separar essa parte aqui. Mas quando aplicamos o teorema de Green, temos que isso aqui vai ser exatamente a mesma coisa que uma integral dupla sobre a região limitada por c1 -- essa região, R, está no nosso plano xy -- da derivada parcial disso aqui em função de x; a parcial em função de x desse negócio aqui. Então vou fazer isso na mesma cor verde. Q mais R vezes a parcial de z em função de y menos a parcial em função de y de P mais R vezes a parcial de z em função de x. Então, dA, pequena diferencial da nossa área. dA. Vamos calcular essa parte aqui. Você pega as parciais de cada uma dessas expressões. E nós veremos que se as expandirmos e simplificarmos, encontraremos algo bem parecido -- ou esperançosamente, idêntico -- a isso aqui. E isso mostra que essa integral da curva nesse caso especial é a mesma coisa da integral da superfície, que prova o teorema de Stokes nesse caso em especial. Então vamos fazer isso. Vamos então aplicar o operador da derivada parcial. Primeiramente, queremos pegar a derivada parcial em função de Q. E precisamos nos lembrar -- nós fizemos desse jeito aqui em cima, onde primeiro pensamos sobre isso -- vimos que P, Q, e R, são cada um funções de x, y e z. Então assumimos que é assim q são representados. E se z não era uma função de x, então, se pegássemos a parcial de Q em função de x, teríamos escrito apenas como parcial de Q em x. Mas nós sabemos que assumimos que z por sí só é uma função de x e y. Então se estamos pegando a parcial em função de x aqui, temos que pensar primeiro -- Bem, como que Q pode mudar diretamente em função de x? E como ele pode mudar por cu lpa de outra coisa mudando por x? E essa outra coisa que poderia mudar por causa de x é z. O y é independente de x, mas z é uma função de x. Então vamos manter isso em mente. Vamos fazer a regra da cadeia para mais de uma variável. Quando tentamos pegar a derivada dessa parte, de toda essa função, em função de x, temos que pensar -- Como Q vai mudar diretamente em função de x? E para isso, temos que pensar como Q pode mudar em função de outra mudança em outra variáveis, por mudanças no x. E a única outra variável que Q pode sofrer tal mudança por culpa de x é z. Então Q também pode mudar em função de z, já que z muda em função de x. Assim, o operador aqui é a derivada parcial em função de x mais a parcial de Q em função de z, vezes a parcial de z em função de x. Se reescrevêssemos Q para que z fosse substituido por x's e y's -- já que é uma função de x e y's -- então teríamos apenas que escrever esse primeiro termo. Mas estamos assumindo que isso é mostrado como função de x, y e z. E z por sí só é uma função de x. E é por isso que tivemos que usar a regra da cadeia para mais variáveis. Agora vamos para a próxima parte. E ambos podem ter uns x's neles. Então temos que usar a regra do produto aqui. Primeiro, nós pegamos a derivada de R em função de x. E então, multiplicamos por z sobre y. Então, pegamos a derivada de z sobe y em função de x e multiplicamos por R. Então isso vai ser -- mais; Se pegamos a derivada disso em função de x, mesma lógica -- R pode mudar por causa de x, e pode mudar por causa de y, perdão; E isso pode mudar por causa de z, e multiplicar isso vezes como z poderia mudar em função de x. De novo, você pode ver como uma regra da cadeia de mais de uma variável aqui. Mas é claro, pegamos a derivada do primeiro termo vezes o segundo termo. E vou fazer o segundo termo em magenta. Então a parcial de z em função de y mais a derivada do segundo termo -- que é a parcial de z em função de y, e então pegando a parcial disso em função de x, que podemos escrever dessa forma -- vezes o primeiro termo. Então essa é a parcial em função de x de todo esse negócio bem aqui. Assim, precisamos subtrair a parcial disso em função de y. E nós vamos usar a mesma lógica. Vamos subtrair -- e eu vou colocar em parênteses assim. Então P pode mudar diretamente em função de y. Vou circular P. Deixa eu fazer com outra cor que eu não tenha usado ainda. P pode mudar diretamente por causa de y. Assim, poderíamos dizer que a parcial de P em função de y; mas também poderia mudar por causa de z, que muda por causa de y. Então mais a derivada parcial em função de z, vezes a parcial de z em função de y -- e vou colocar R da mesma cor -- mais a derivada de R. Bem, já descobrimos isso, mas agora está em função de x, não de y. Você precisa ter cuidado. Então vai ser a parcial de R em função de y, mais a parcial de R em função de z, vezes a parcial de z em função de y, vezes z sobre x, mais -- agora, vamos pegar a derivada do segundo termo vezes o primeiro. A derivada da parcial de z em função de x, depois em função de y. Depois, vamos multiplicar isso por R. E agora, vamos ver se conseguimos expandir isso. Com sorte, será simplificado. E um lembrete: estamos apenas trabalhando dentro dessa integral dupla. Vou reescrever a integral dupla e o dA quando eu conseguir limpar isso um pouco. Deixa eu reescrever isso. Então isso é igual a parcial de Q. Vou tentar usar as mesmas cores. E agora é apenas álgebra nesse estágio. A parcial de Q em função de x, mais a parcial de Q em função de z, vezes a parcial de z em função de x, mais a parcial de R em função de x, vezes a parcial de z em função de y. E depois, mais a parcial de R em função de z, vezes a parcial de z em função de x, vezes a parcial de z em função de y. E então, chegamos a esse termo aqui -- que eu vou fazer em roxo -- mais a parcial de z em função de y, e em função de x, vezes R. Agora, vamos subtrair toda essa parte bem aqui. Vou fazer em azul. Menos a parcial de P em função de y, menos a parcial de P em função de z, vezes a parcial de z em função de y. Depois, vamos subtrair disso. Menos a parcial de R em função de y, vezes -- queremos distribuir isso -- vezes a parcial de z em função de x, menos a parcial de R. Isso fica um pouco tedioso. Mas com sorte, vai nos levar onde precisamos. A parcial de R em função de z, vezes a parcial de z em função de y, vezes a parcial de z em função de x. E então, finalmente, esse termo aqui menos isso -- porque temos esse negativo aqui -- menos a parcial de z em função de y, depois em função de x, e depois em função de y, R. Agora, vamos ver se podemos simplificar. Primeiramente -- isso e isso parecem ser a mesma coisa. Podemos trocar a ordem na qual nós realmente multiplicamos. Mas esses são os mesmos termos. Então isto vai ser cancelado com isso. E porque nós assumimos lá em cima que nós temos segundas derivadas contínuas da função z -- z é uma função de x e y, onde isso é igual a isso -- nós podemos dizer que esses dois aqui vão passar a ser opostos um ao outro ou que eles serão cancelados. Então isso simplificou um pouco as coisas. Vamos ver se posso agrupar termos de forma que comece a fazer sentido. Na verdade, vou tentar ver se eu consigo deixá-los similares a isso. Então eu tenho todos os termos que possuem z sobre x e z sobre y e depois o resto deles. Z sobre x ficará de azul. Assim, você tem os termos que tem o z sobre x. Você tem esse termo bem aqui e esse termo aqui. E nós podemos fatorar o z sobre x. Aí nós teremos a parcial de z em função de x, vezes a parcial de Q em função de z, menos a parcial de R em função de y. Depois, vamos fazer -- e eu quero deixar nas mesmas cores também. Eu fiz de amarelo depois. E mais, eu tenho todos os termos da parcial de z em função de y. Que é esse termo aqui e esse termo aqui. Isso vira mais a parcial de z em função de y, vezes a parcial de R em função de x, menos a parcial de P em função de z. E depois, nós temos esses dois últimos termos. Eu usei a cor verde aqui em cima, então vou usar o verde de novo. Então para esses dois termos, eu vou apenas escrever mais a parcial de Q em função de x, menos a parcial de P em função de y. Então nossa integral dupla é como se fosse -- eu não posso dizer simplificada -- mas podemos reescrever isso dessa forma. E nós não queremos esquecer que tudo isso foi uma simplificação da nossa integral dupla da região dA. É para isso que podemos utilizar o teorema de Green, a regra da cadeia multivariável e qualquer outra coisa. Podemos dizer que aquela integral da curva em volta dos limites da superfície é a mesma coisa que isso. E agora, podemos comparar com como a nossa integral da superfície era. Vamos ver se eu tenho espaço. Então, copiar. E depois, deixa eu ver se tenho espaço aqui em cima pra colar. Bem, não parece que tenho muito espaço pra colar isso, mas vou tentar do mesmo jeito. Então se eu colar isso aqui, você verá q são idênticas. Elas são idênticas. Nossa integral da curva é idêntica a isso. Nós podemos chegar no mesmo lugar. Então nossa integral da curva, f.dr, em volta desse caminho c simplificada pra isso e nossa integral de superfície simplificada pra isso. Usando as suposições que usamos, ambas foram simplificadas para a mesma coisa. Agora sabemos, que nesse caso em especial, nossa integral da curva é igual a integral da superfície. E terminamos. Legendado por [Pedro Coutinho]