Fatoração de equações do segundo grau: divisor comum + agrupamento

RKA - O problema pede para fatorar 35k ao quadrado mais 100k, menos 15. Como temos um coeficiente diferente de 1 aqui, a melhor coisa a fazer, provavelmente, é fatorar por agrupamento. Mas, antes de fazermos isso, vamos ver se há um fator comum por todos esses termos e, talvez, possamos chegar a um coeficiente 1 ali. Se não pudermos chegar a um coeficiente 1, pelo menos, vamos ter um coeficiente menor aqui. Se olharmos esses números, todos parecem divisíveis por cinco, na verdade, seu grande fator comum é: 5. Vamos, pelo menos, fatorar um 5. Isso será igual a 5 vezes 35k ao quadrado dividido por 5 é igual a 7k ao quadrado. 100k dividido por 5 é 20k. O menos 15 dividido por 5 é -3, então podemos fatorar um 5, mas ainda não temos um coeficiente 1 aqui. Então, ainda precisamos fatorar por agrupamento, mas, pelo menos, os números aqui são menores, por isso, será mais fácil pensar em termos de encontrar os números cujo produto seja igual a 7 vezes menos 3 e cuja soma seja igual a 20. Vamos pensar e descobrir dois números que se fosse acrescentá-los ou, ainda melhor, se fosse pegar seu produto teria 7 vezes -3 que é igual a -21. Se fosse pegar sua soma, se acrescentasse esses dois números seria preciso ser igual a 20. Agora, mais uma vez, porque seu produto é um número negativo e isso significa que eles têm que ter sinais diferentes. Por isso, quando acrescentarmos números de sinais diferentes, poderia ver como se pega a diferença das versões positivas. A diferença entre as versões positivas do número precisa ser 20. O número que, imediatamente, aparece é o que, provavelmente, trabalharíamos com 20 e 21 e um será negativo porque queremos obter 1 mais 20. Vamos pensar. Se pensarmos em +21 e -1, seu produto será -21. Se pegarmos 21 e -1, seu produto será -21, 21 vezes -1 é -21. Se pegar sua soma 21 mais -1, isso é igual a 20. Esses dois números bem aqui se ajustam à conta. Agora, vamos desmembrar esse 20k bem aqui em 21k e menos 1k. Vamos fazer e reescrever tudo isso. Temos 5 vezes 7k², vou desmembrar isso, 20k em um, deixa eu fazer com essa cor bem aqui, vou dissolver esse 20k em +21k menos "k". Podemos dizer -1k, se quiser, estou utilizando esses dois fatores para dissolver. Por fim, temos o -3 bem aqui. O ponto geral de fazermos isso é para que possamos fatorar agora cada um dos dois grupos, esse pode ser o nosso primeiro grupo e o que podemos fatorar desse grupo bem aqui? Bom, os dois são divisíveis por 7k, por isso, podemos escrever como 7k vezes, 7k ao quadrado dividido por 7k, vamos apenas ter um "k" sobrando, e mais 21k dividido por 7k será apenas 3. Esse fatora esse e, podemos olhar para esse grupo aqui. Eles têm um fator comum, podemos fatorar um -1, se quisermos, então, isso é igual a -1 vezes, k dividido por -1 é k, -3 dividido por -1 é +3 e, claro, temos esses 5 aqui. Esse cinco esperando por todo esse tempo. Agora, ignorando esse cinco por um segundo, veremos que os dois termos têm k + 3 como fator, então, podemos fatorar. Vamos ignorar esse cinco por um segundo. Essa parte interna, bem aqui, a coisa que está dentro dos parentes, podemos fatorar k + 3 e torna-se (k + 3) vezes, (k + 3) vezes (7k - 1). E, se isso parece um pouco bizarro, distribua o k mais 3 aqui, k mais 3 vezes 7k é esse termo, k mais 3 vezes -1 é esse termo. Claro, o tempo todo temos esse cinco fora. Não precisamos nem colocar parentes ali, 5 vezes k mais 3 vezes 7k menos 1 e fatoramos. Acabou!