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Matemática EF: 7º Ano

Curso: Matemática EF: 7º Ano > Unidade 8

Lição 6: Reflexões
Matemática
Matemática EF: 7º Ano
Geometria: simetria e transformações
Reflexões
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Reflexão de formas

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Aprenda a encontrar a imagem de uma reflexão dada.
Neste artigo, vamos encontrar as imagens de diferentes formas com diferentes reflexões.

O eixo de simetria

Uma reflexão é uma transformação que atua como um espelho: ela troca todos os pares de pontos que estão exatamente nos lados opostos do eixo de simetria.
O eixo de simetria pode ser definido por uma equação ou por dois pontos pelos quais ele passa.

Parte 1: reflexão de pontos

Vamos analisar um exemplo de reflexão sobre uma reta horizontal

Temos que encontrar a imagem A′ de A(−6,7) com uma reflexão sobre y=4.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete.

Solução

Etapa 1: faça um segmento de reta perpendicular de A até o eixo de simetria e meça-o.
Como o eixo de simetria é perfeitamente horizontal, uma reta perpendicular a ele será perfeitamente vertical.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete. Uma semirreta se estende três unidades a partir do ponto A e vai até a reta tracejada.
Etapa 2: faça o segmento de reta na mesma direção e com a mesma medida.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete. Uma semirreta se estende três unidades a partir do ponto A e vai até a reta tracejada. A semirreta estende a reta tracejada em mais três unidades.
Resposta: A′ está em (−6,1).
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete. Uma semirreta se estende três unidades a partir do ponto A e vai até a reta tracejada. A semirreta estende a reta tracejada em mais três unidades e aponta para a imagem de um ponto A linha que está nas coordenadas seis negativo e um.

Sua vez!

Exercício

Desenhe a imagem de B(7,−4) com uma reflexão em x=2.

Desafio

Qual é a imagem de (−25,−33) com uma reflexão na reta y=0?
(
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
)

Vamos analisar um exemplo de reflexão sobre uma reta diagonal

Temos que encontrar a imagem C′ de C(−2,9) com uma reflexão em y=1−x.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove.

Solução

Etapa 1: faça um segmento de reta perpendicular de C até o eixo de simetria e meça-o.
Como o eixo de simetria passa exatamente pelas diagonais dos quadrados unitários, uma reta perpendicular a ele deverá passar pela outra diagonal do quadrado unitário. Em outras palavras, retas com coeficientes angulares 1 e -1 são sempre perpendiculares.
Para ficar mais fácil, vamos medir a distância em "diagonais":
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um, e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove. Uma semirreta se estende três diagonais a partir do ponto C até chegar à reta tracejada.
Etapa 2: faça o segmento de reta na mesma direção e com a mesma medida.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um, e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove. Uma semirreta se estende três diagonais a partir do ponto C até chegar à reta tracejada. A semirreta passa pela reta tracejada e se estende por mais três diagonais.
Resposta: C′ está em (−8,3).
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um, e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove. Uma semirreta se estende três diagonais a partir do ponto C até chegar à reta tracejada. A semirreta passa pela reta tracejada e se estende por mais três diagonais, apontando para o ponto C linha da imagem, na coordenada oito negativo e três.

Sua vez!

Exercício

Desenhe a imagem de D(3,−5) com uma reflexão em y=x+2.

Desafio

Qual é a imagem de (−12,12) com uma reflexão na reta y=x?
(
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
)

Parte 2: reflexão de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o retângulo EFGH desenhado abaixo. Vamos desenhar sua imagem E′F′G′H′ com uma reflexão na reta y=x−5.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para cima da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e cinco negativo, e cinco e zero. Um retângulo com os pontos E F G e H. O Ponto E está em três negativo e três, o Ponto F está em cinco e três, o Ponto G está em cinco e três negativo. O ponto H está em três negativo e três negativo.

Solução

Quando refletimos um polígono, basta realizarmos uma reflexão em todos os vértices (isso é semelhante ao modo como transladamos ou rotacionamos polígonos).
Esses são os vértices originais e suas imagens. Observe que E, F e H estavam em um lado oposto do eixo de simetria como G. O mesmo vale para suas imagens, mas agora elas trocaram de lado!
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para cima da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e cinco negativo, e cinco e zero. O Ponto E está em três negativo e três, o Ponto F está em cinco e três, o Ponto G está em cinco e três negativo. O ponto H está em três negativo e três negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto E, passa pela reta tracejada e vai até o ponto E linha, em oito e oito negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto F, passa pela reta tracejada e vai até o ponto F linha, em oito e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto G e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto G linha, em dois e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto H e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto H linha em dois e oito negativo.
Agora basta ligarmos os vértices.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para cima da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e cinco negativo, e cinco e zero. O Ponto E está em três negativo e três, o Ponto F está em cinco e três, o Ponto G está em cinco e três negativo. O ponto H está em três negativo e três negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto E, passa pela reta tracejada e vai até o ponto E linha, em oito e oito negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto F, passa pela reta tracejada e vai até o ponto F linha, em oito e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto G e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto G linha, em dois e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto H e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto H linha em dois e oito negativo. E linha, F linha, G linha e H linha formam a imagem de um retângulo.

Sua vez!

Problema 1

Desenhe as imagens dos segmentos de reta IJ― e KL― com uma reflexão em y=−3.

Problema 2

Desenhe a imagem de △MNO com uma reflexão em y=−1−x.

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