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Matemática EF: 8º Ano
Curso: Matemática EF: 8º Ano > Unidade 5
Lição 6: MediatrizesCircuncentro de um triângulo retângulo
Demonstração de que o ponto médio da hipotenusa é o circuncentro. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA - O que quero fazer neste vídeo é provar
que o circuncentro de um triângulo retângulo é, na verdade, o ponto médio de sua hipotenusa. Para fazer isso, primeiro vou dar uma olhada na mediatriz de um dos catetos deste triângulo retângulo. Deixe-me construir a mediatriz do cateto BC aqui. Então, vai ser mais ou menos assim, mais ou menos assim. E ela cruza o lado BC em um ângulo reto, pois uma mediatriz de uma reta
é perpendicular a essa reta. O comprimento de “B” a esse ponto, que vamos
chamar de “M”, talvez “M” de ponto médio, é igual ao comprimento de "M" a "C". Estas duas distâncias serão iguais e vamos chamar o ponto onde essa mediatriz perpendicular cruza a hipotenusa de "O" e vamos provar que "O" é o circuncentro
deste triângulo retângulo. A primeira coisa a perceber, e isso é o que vimos
em vários problemas, o triângulo OBM parece
ser semelhante ao triângulo ABC. Na verdade, não é difícil de provar,
os dois têm um ângulo de 90°, então, se mostrarmos que os dois têm ângulos correspondentes que são congruentes um ao outro; sabemos que são triângulos semelhantes
pelo critério de congruência AA; eles claramente têm esse ângulo em comum
aqui, OBC é parte do triângulo menor e ABC, que é o mesmo ângulo, é parte de um triângulo maior. Daí eles também, obviamente, compartilham
um ângulo de 90° pelo critério de semelhança AA de um triângulo.
A gente tem um triângulo OBM, OBM é semelhante ao triângulo ABC; é semelhante ao triângulo ABC. E o que é útil nisso? É que sabemos que triângulos semelhantes têm lados correspondentes proporcionais. Por exemplo, sabemos que a razão entre
o lado BM, que é do triângulo menor, sabemos que a razão entre BM, deixe-me desenhar de uma cor diferente para ficar melhor. A gente sabe que a razão entre BM e BC; BM e BC, a razão deste lado do triângulo menor para
o lado correspondente no triângulo maior vai ser a mesma que a razão
da hipotenusa do triângulo menor BO, à hipotenusa do triângulo
maior, porque são semelhantes. A gente sabe qual é a razão entre BM e BC: BM é metade de BC, então esta
razão aqui vai ser igual a 1/2, este “M” é o ponto médio destas coisas. Esta é exatamente a mesma distância
que esta, então isso é metade do BC inteiro. Então, se 1/2 é igual a BM
sobre BC, que é igual a BO sobre BA, sabemos, se ignorarmos esta parte
do meio aqui, que 1/2 é igual a BO sobre BA, sobre BA. Se multiplicarmos em "x", teremos vários jeitos de pensar: se multiplicarmos em "x", podemos dizer que BA é igual a 2BO. Ou, se dividirmos os dois lados por 2,
por eles serem equivalentes, 1/2 BA será igual a BO. Então, BO é 1/2 BA; isto é 1/2 BA. Este outro comprimento, AO, vai ser, isto vai ser (BA - 1/2 BA). E isto também vai ser 1/2 BA. Este segmento aqui, AO, vai ser congruente a OB. Primeiro, mostramos que esta mediatriz perpendicular aqui,
a mediatriz perpendicular do segmento BC, cruza a hipotenusa do nosso triângulo
retângulo no ponto médio. Já sabemos que "O" é o ponto médio. é o ponto médio da hipotenusa, da hipotenusa AB. Bom, isso já é interessante, mas também
sabemos que um ponto que está
em uma mediatriz de um segmento é equidistante, tem a mesma distância
das duas extremidades do segmento. Mostramos isso no vídeo anterior. Também sabemos que OB é equidistante das extremidades
do segmento aqui, que OB é igual a OC. Mas, sabemos, por essa primeira
afirmação, que OB é também igual a OA. OB é também igual a a OA. Então, OB é igual a OC, OB é igual a OA,
significa que OC tem que ser igual a AO, que OC tem que ser igual a OA. Outro jeito de pensar nisso é que este
ponto "O" é equidistante de todos os vértices. Este ponto "O" é equidistante de todos
os vértices do nosso triângulo. Essa distância, que realmente vai ser nosso raio, é a mesma distância aqui, que é a mesma distância ali. Então, sabemos que "O" é equidistante, equidistante de todos os vértices,
que é outro jeito de dizer que "O" é o circuncentro. "O" é o circumcentro. Então, provamos que se tem o circuncentro
de um triângulo retângulo, ele é o ponto médio da hipotenusa
do triângulo retângulo. Ou, pelo outro lado, a hipotenusa
de um triângulo retângulo é o circuncentro, porque você só pode
ter um circuncentro de qualquer triângulo.