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Uso de identidades trigonométricas de soma de ângulos: cálculo das medidas dos lados

Neste vídeo, temos um desenho com dois triângulos e as medidas de alguns lados, então usamos a identidade do seno da soma de ângulos para calcular a medida de um lado que está faltando. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - O que queremos no vídeo de hoje é usar toda a nossa sabedoria, todo o nosso conhecimento, sobre funções trigonométricas e identidades trigonométricas, para descobrir o tamanho dessa linha amarela aqui. Essa linha que começa aqui (segmento de reta que está em amarelo) e vai até aqui, esse pedaço aqui. Eu proponho que, antes de você me ver resolvendo esse problema, você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Supondo que você tenha feito isso, você deve ter percebido que esse segmento é um dos lados desse triângulo que eu estou desenhando em amarelo aqui. O triângulo daqui até aqui (desse triângulo em amarelo bem aqui) e que, sendo dado os ângulos α (alfa) e β (beta), podemos combinar esses ângulos aqui (combinar “α + β”). E combinando esses ângulos, a gente pode tentar tirar algo em relação a esse lado aqui, usando as nossas definições do SOH CAH TOA. Lembra as nossas definições do SOH CAH TOA? As definições básicas trigonométricas? Nós sabemos que o seno é o lado oposto sobre a hipotenusa. Se considerarmos esse ângulo todo “α + β”, o seno vai ser o lado oposto, que vai ser esse lado aqui (o que a gente está querendo achar) sobre a hipotenusa; essa hipotenusa vale 1. Então, na verdade, o "sen (α + β)” vai ser exatamente o que nós estamos procurando; nós estamos procurando esse comprimento da linha amarela aqui. Isso parece interessante! Vamos escrever isso, então: o "sen (α + β)” é, exatamente, o comprimento do que nós estamos procurando; vai ser o lado oposto sobre a hipotenusa que vale 1. Então, para a gente resolver esse problema, a gente está tentando descobrir, exatamente, o "sen (α + β)”, que vai ser o comprimento daqui. Então, eu devo estar pensando, "sen (α + β)” deve ser igual ao quê? Você, que já está familiarizado com as identidades trigonométricas, já deve saber uma maneira de eu escrever isso. Eu posso dizer que "sen (α + β) = sen α‧(cos β) + cos α‧(sen β)”. Eu posso escrever "sen (α + β)” como sendo essa identidade aqui: “sen α‧(cos β) + cos α‧(sen β)”. É uma identidade trigonométrica bastante importante e que a gente vai utilizar para resolver esse problema. Então, na verdade, o que a gente vai fazer para descobrir "sen (α + β)” é descobrir o “sen α”, depois “cos β”, depois o “cos α”, e depois o “sen β”. Então, vamos começar. “sen α”... aqui está o α... é o lado oposto sobre a hipotenusa, só que a hipotenusa vale 1, então, vai ser só o lado oposto: “sen α” é "0,5". Então, onde está o “sen α”, a gente vai colocar "0,5". Agora, vamos ver o “cos β”. A gente sabe que o “cos β” é o lado adjacente em relação à hipotenusa. Aqui está o β (aqui está o ângulo β). O adjacente é esse lado aqui, "0,6", sobre a hipotenusa, a hipotenusa vale 1; então, o “cos β” vai ser "0,6". Agora, vamos ver “cos α”. “cos α"... o α está aqui... é o lado adjacente ao ângulo (o lado adjacente é raiz de 3 sobre 2) sobre a hipotenusa (que vale 1); então, o “cos α” vai ser, apenas, raiz de 3 sobre 2. Então, aqui, “cos α”, raiz de 3 sobre 2. E, finalmente, “sen β”. β está aqui. Seno é o lado oposto ("0,8") sobre a hipotenusa (que vale 1); então, “sen β” vai ser "0,8". Nós também podemos dizer... transformar isso em fração... podemos dizer que é 4/5. 4/5 é a mesma coisa que "0,8". Então, o “sen β”, vou dizer que vale 4/5. Agora, vamos ver essa expressão toda; vamos calcular. A gente sabe que "(0,5)‧(0,6)” vai dar "0,3". Então, essa primeira aqui é "0,3"... mais... vamos ver essa segunda multiplicação aqui. Podemos, primeiro, simplificar esse 4 com esse 2, vai sobrar 2 aqui no numerador; como eles estão multiplicando, o resultado dessa multiplicação vai ser 2 vezes raiz 3 sobre 5. Agora, incomoda-me um pouco ver esse resultado assim: metade com número decimal, metade em forma fracionária. Vamos ver o que a gente pode fazer. "0,3", eu posso dizer que é 3/10... mais... 2 raiz de 3 sobre 5, eu vou tentar transformar numa fração também com denominador 10; basta multiplicar em cima e embaixo por 2, e eu vou ter 4 raiz de 3 sobre 10. Agora, a gente pode dizer que isso é igual a quê? 3 mais 4 raiz de 3... todo mundo... ambos os denominadores são iguais... todo mundo sobre 10. Aqui é 10, e aqui é 10; eu posso dizer que é todo mundo sobre 10. E aqui está o resultado do que a gente estava querendo no nosso problema inicial: esse comprimento aqui vale 3 mais 4 raiz de 3 sobre 10. Até um próximo vídeo!