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Curso: Pré-cálculo > Unidade 4

Lição 7: Soma e subtração de expressões racionais

Soma e subtração de expressões racionais

Você aprendeu os conceitos básicos da soma/subtração de expressões racionais? Ótimo! Agora vamos nos aprofundar com alguns exemplos avançados.

O que precisamos saber antes dessa lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios.

Para somar ou subtrair duas expressões racionais com o mesmo denominador, simplesmente somamos ou subtraímos os numeradores e escrevemos o resultado sobre o denominador comum.

Quando os denominadores não são iguais, devemos manipulá-los para que eles se tornem iguais. Em outras palavras, temos que encontrar um denominador comum.

Se isso é novidade para você, você pode querer ver primeiro os seguintes artigos:

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai praticar a soma e a subtração de expressões racionais com denominadores diferentes. Você vai usar o menor denominador comum como seu denominador comum nesses exemplos e explorar por que é vantajoso fazer isso.

Aquecimento: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Para subtrair duas expressões racionais, cada fração deve ter o mesmo denominador.

Neste exemplo, podemos criar um denominador comum multiplicando a primeira fração por

(\frac{x + 1}{x + 1})

e a segunda fração por

(\frac{x - 2}{x - 2})

Então, podemos subtrair os numeradores e escrever o resultado sobre o denominador comum.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1

Some.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.

\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =

Mínimo denominador comum

Frações numéricas

Às vezes, os denominadores de duas frações são diferentes, mas compartilham alguns fatores.

Por exemplo, considere

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}

Observe que o denominador comum usado nesse exemplo não era o produto dos dois denominadores individuais (

24

). Em vez disso, ele era o mínimo múltiplo comum de

4

6

(

12

O mínimo múltiplo comum

(MMC)

de dois números inteiros é o menor número divisível pelos dois números inteiros.

Quando dois números inteiros não compartilham um fator comum, o

MMC

é simplesmente igual ao produto desses números inteiros. No entanto, quando dois números inteiros compartilham um fator comum, o

MMC

não é igual ao produto dos números inteiros. Isso acontece porque o fator comum aparece apenas uma vez no

MMC

. Por exemplo:

$4$ ‍ e $6$ ‍ compartilham um fator comum de $2$ ‍, então o $MMC$ ‍ de $4$ ‍ e $6$ ‍ é $12$ ‍, e não $4 \cdot 6 = 24$ ‍
$6$ ‍ e $15$ ‍ compartilham um fator comum de $3$ ‍, então o $MMC$ ‍ de $6$ ‍ e $15$ ‍ é $30$ ‍, e não $6 \cdot 15 = 90$ ‍

O mínimo múltiplo comum dos denominadores em duas ou mais frações é chamado de menor denominador comum.

Expressões variáveis

Agora vamos aplicar esse raciocínio para realizar a soma a seguir:

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Primeiramente, vamos encontrar o mínimo denominador comum:

\underset{\begin{aligned} Precisa de um \\ fator de \\ (x + 3) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}}} + \underset{\begin{aligned} Precisa de um \\ fator de \\ (x - 2) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{(x + 1) (x + 3)}}}

Assim, o mínimo denominador comum é

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Podemos somar as expressões racionais assim:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 2

Some.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.

\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =

Problema 3

Subtraia.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =

Desafio

Some.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

Por que usar o mínimo denominador comum?

Você pode estar se perguntando por que é tão importante usar o mínimo denominador comum para somar ou subtrair expressões racionais.

Afinal de contas, isso não é uma exigência, e é bastante fácil usar outros denominadores com frações numéricas.

Por exemplo, a tabela abaixo calcula

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

utilizando dois denominadores comuns diferentes: um usando o mínimo denominador comum (

12

) e o outro, o produto de dois denominadores (

24

Mínimo denominador comum ( $12$ ‍)	Denominador comum ( $24$ ‍)
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Observe que, quando usamos

24

como o denominador comum, foi necessário mais trabalho. Os números foram maiores e a fração resultante precisou ser simplificada.

Isso também vai acontecer se você não usar o menor denominador comum ao somar ou subtrair expressões racionais.

Entretanto, com expressões racionais, esse processo é muito mais difícil porque os numeradores e denominadores serão polinômios em vez de números inteiros! Você vai precisar usar a aritmética para lidar com polinômios de alto grau e fatorar polinômios para simplificar a fração.

Lembre-se do seguinte problema.

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Suponha que obtivemos um denominador comum multiplicando a primeira fração pelo denominador da segunda e a segunda fração pelo denominador da primeira. Observe que isso é um denominador comum, mas não o menor denominador comum.

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}) \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \end{aligned}

Não se trata da mesma expressão que obtivemos quando somamos utilizando o mínimo denominador comum. Isso porque ainda precisamos reduzi-la a termos menores: