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Curso: Pré-cálculo > Unidade 4

Lição 7: Soma e subtração de expressões racionais

Introdução à soma e à subtração de expressões racionais

Aprenda a somar ou subtrair duas expressões racionais em uma única expressão.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é um quociente de dois polinômios. Por exemplo, a expressão

\frac{x + 2}{x + 1}

é uma expressão racional.

Se você não estiver familiarizado com expressões racionais, é importante conferir nossa Introdução às expressões racionais.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, você vai aprender a somar e subtrair expressões racionais.

Soma e subtração de expressões racionais (denominadores comuns)

Frações numéricas

Podemos somar e subtrair expressões racionais, em grande parte, da mesma forma que somamos e subtraímos frações numéricas.

Para somar ou subtrair duas expressões numéricas com o mesmo denominador, simplesmente somamos ou subtraímos os numeradores e escrevemos o resultado sobre o denominador comum.

\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}

Expressões variáveis

O processo é o mesmo com expressões racionais:

\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} \end{aligned}

É interessante colocar os numeradores entre parênteses, especialmente ao subtrair expressões racionais. Desta forma, somos lembrados de fazer a distribuição do sinal negativo!

Por exemplo:

\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1

Some.

\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =

Problema 2

Subtraia.

\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =

Soma e subtração de expressões racionais (denominadores diferentes)

Frações numéricas

Para entender como somar ou subtrair expressões racionais com denominadores diferentes, primeiramente vamos examinar como isso é feito com frações numéricas.

Por exemplo, vamos calcular

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}

Observe que foi necessário um denominador comum de

6

para somar as duas frações:

O denominador da primeira fração ( $3$ ‍) precisou de um fator de $2$ ‍.
O denominador da segunda fração ( $2$ ‍) precisou de um fator de $3$ ‍.
Para se obter isso, cada fração foi multiplicada por uma forma de $1$ ‍.

Expressões variáveis

Agora vamos aplicar isso ao seguinte exemplo:

\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}

Para que os dois denominadores sejam iguais, o primeiro precisa de um fator de

x + 5

e o segundo precisa de um fator de

x - 3

. Vamos manipular as frações para fazer isso. Depois, podemos somar como de costume.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Observe que o primeiro passo é possível porque

\frac{x + 5}{x + 5}

\frac{x - 3}{x - 3}

são iguais a

1

, e a multiplicação por

1

não altera o valor da expressão!

Nos dois últimos passos, reescrevemos o numerador. Embora você também possa expandir

(x - 3) (x + 5)

no denominador, é comum deixar a expressão na forma fatorada.

Teste seu conhecimento

Problema 3

Some.

\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =

Problema 4

Subtraia.

\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =

E agora?

Nosso próximo artigo abrange mais exemplos de soma e subtração de expressões racionais.

Você vai aprender sobre o menor denominador comum, e por que é importante usá-lo como o denominador comum ao somar ou subtrair expressões racionais.

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samantha gabrielly do santos.
Publicado há há 5 meses. Link direto para a postagem “ensinar essas contas não ...” de samantha gabrielly do santos.
ensinar essas contas não cheguei nessas contas ainda
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Pedro Hernandes
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “Eu interpretei a desneces...” de Pedro Hernandes
Eu interpretei a desnecessidade de informar os valores restritos para somas e subtrações de outra forma:

Do que vimos até aqui, aprendemos que só informamos valores restritos que não estão evidentes na expressão final. Informar valores restritos evidentes seria redundante. No caso de somas e subtrações de expressões racionais, como o denominador do resultado será um produto não fatorado dos denominadores das partes somadas/subtraídas, as mesmas restrições aparecem tanto na soma/subtração como no resultado, o que justifica não ser preciso informar as restrições.
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Pedro Henrique
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Como responde os exercíci...” de Pedro Henrique
Como responde os exercícios?
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