Subtração de expressões racionais

RKA1MP Encontre a diferença e expresse a resposta como uma expressão racional simplificada e defina o domínio. A gente tem duas expressões racionais e vamos subtrair uma da outra, da mesma forma que fizemos quando aprendemos a subtrair frações ou somar frações. A gente tem que achar um denominador comum. A melhor forma de achar um denominador comum, se estiver lidando com números regulares ou com expressões algébricas, é fatorar e assegurar que o nosso denominador comum tenha todos os fatores nele. Isso garante que ele seja divisível por esses dois denominadores. Este aqui está completamente fatorado e é simplesmente "a + 2". Vamos ver se conseguimos fatorar esse outro aqui. a² + 4a + 4. Você vê que o padrão que é: 4 é 2². 4 é 2 vezes 2, então, a² + 4a + 4 é "a + 2", vezes "a + 2", ou (a + 2) ao quadrado. Dá para falar que ele é "a + 2" vezes "a + 2". E é o que a² + 4a + 4 é. Obviamente, é divisível por si mesmo e tudo é divisível por si mesmo, exceto, acredito que por zero que é divisível por si mesmo. E também é divisível por 2. Então, esse é o mínimo múltiplo comum dessa expressão e daquela expressão, e ele poderia ser um bom denominador comum. Isto será a mesma coisa. Como igual a esse primeiro termo, a - 2 sobre a + 2. Mas, queremos que o denominador agora seja a + 2 vezes a +2. A gente queria que ele fosse (a + 2)², então, vamos multiplicar esse numerador e esse denominador por a + 2 de forma que seu denominador seja igual a este. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por a + 2. Vamos pressupor que "a" não é igual a -2 porque seria indefinido e também faria com que fosse indefinido. Nesse problema, vamos pressupor que "a" não pode ser igual a -2. O domínio vai ser todos os números reais com exceção do -2, ou seja, todos os reais menos o -2. O primeiro termo é esse. E, depois, o segundo termo fica inalterado porque seu denominador já é o denominador comum. Menos (a - 3) sobre, dá para escrever como a + 2 vezes a + 2, ou como isso aqui. Vamos escrever na forma fatorada porque vai facilitar a simplificação mais para frente. a + 2 vezes a + 2. Antes de somar os numeradores, talvez, fosse uma boa ideia multiplicar aqui, mas vou escrever o denominador e a gente sabe qual é ele. Ele é a + 2 vezes a + 2. Agora, este numerador, se a gente tem a - 2 vezes a + 2, já vimos esse padrão. Se quiser, dá para multiplicar, mas espero que já tenha visto o bastante para reconhecer que vai ser a² - 2² e será a² - 4. Dá para multiplicar e os termos do meio se cancelam. O -2 vezes "a" é cancelado com "a" vezes 2 e tem agora a² - 4 que é aqui em cima. Depois, tem menos a - 3. Vamos tomar cuidado porque estamos subtraindo "a - 3" e precisamos distribuir o sinal negativo ou multiplicar esses dois termos por -1. A gente pode colocar - a e depois menos -3, é +3. Como podemos simplificar isso? A gente tem "a²" menos "a", mais -4 mais 3, é -1, vezes "a + 2". Poderíamos escrever como (a + 2)². A gente pode fatorar ainda mais esse numerador e só para assegurar que ele não contenha um fator comum com o denominador. O denominador é a + 2 multiplicado por si mesmo. Analisando, podem ver que a + 2 não será um fator dessa expressão em cima. Se fosse, esse número seria divisível por 2 e ele não é divisível por 2. a + 2 não será um dos fatores, de modo que não será possível simplificar ainda mais, mesmo se pudesse fatorar esta coisa no numerador. E pronto! Terminamos! Simplificamos a expressão racional e o domínio é para todos os "a", exceto que "a" não pode ser igual a -2. Todos os Reais, exceto o -2. Terminamos! Até o próximo vídeo. Fui!