Modelagem com equações lineares: mensalidade da academia e limonada

RKA - Nesse vídeo, quero praticar mais a resolução de problemas com gráficos de retas. Aqui, tem que uma academia está fazendo uma oferta para novos membros. Os clientes podem se matricular pagando uma taxa de 200 reais, e uma mensalidade de 39 reais. Esta é a matrícula. Quanto será esse custo de associação para um membro no final do ano? Vamos criar uma equação para determinar o total que pagaremos. "p" é igual ao valor que pagaremos no total pela nossa associação. Então, independentemente de quantos meses usar a academia, só para começar a usar a gente vai ter que pagar 200 reais de matrícula. Tudo o que a gente escrever vai ser em reais, então, eu escrevo "200 reais". Depois, teremos que pagar 39 reais para cada mês que usar a academia. A seguir, vamos pegar os meses que frequentaremos a academia e o multiplicaremos por 39. Observe que, se frequentar 1 mês, vai ter que pagar 1 mês vezes 39 reais, e já teria pago os "200" da matrícula. O total seria 239. Se ficasse 2 meses, pagaria a taxa de matrícula de 200 reais e também 39 vezes 2 meses, que é igual a 78. Por 2 meses, pagaria 278. Agora, para relacionar tudo isso com equações lineares e seus gráficos, vamos criar um gráfico para essa relação. Lembre-se de que o gráfico de uma reta pode ser "y = mx + b". Essa é uma das formas. Então, para colocar essa reta dessa forma (ou esta equação nessa forma), a gente só precisa reordenar o "39m", o 200 e o "p", que é igual a "39m + 200". Qual é o coeficiente angular e qual é a interceptação de "y"? Dá para ficar confuso e dizer: olha, tem um "x" e um "y", mas agora está fazendo com "p" e "m". Lembre-se apenas de que esta é a variável independente, e esta é a variável dependente. Essa aqui é a variável independente, quantos meses? Seleciono o número de meses e direi quanto será o custo total da sua associação. É a mesma coisa. Aqui, representa o "x", e isso representa o "y". Usando apenas nossa correspondência de padrão é... a gente poderia falar que é a intersecção vertical, ou a interceptação de "p" ou "a"... estou tentando chamar de intersecção com "y", mas o que estamos realmente fazendo é interceptar o eixo "p" em vez do eixo "y" aqui. Esse é nosso coeficiente angular; vamos representar essa função em um gráfico. Não vou fazer de forma muito precisa; eu vou traçar um gráfico à mão, só para ter uma ideia. A gente só precisa ficar no primeiro quadrante; não ficaremos meses negativos e a academia não vai pagar nenhum valor. Assim, para começar, teremos que pagar 200 reais para academia; 200 reais para zero mês. Para cada mês adicional, vai ter que pagar mais 39 reais. O coeficiente angular é 39. Digamos que esse é o mês 1 aqui (e está expresso em meses) e esse eixo é o preço (o eixo "p"). Isso é a intersecção de "p", ou a intersecção com "y". Após 1 mês, quanto teremos que pagar? Nosso coeficiente angular é 39; então, se avançar 1 mês, vamos aumentar mais 39 reais; e vai ser 239 reais. Se subir outro mês, chegaremos a 278 reais. Essa é uma nomeação esquisita de um eixo, mas eu acho que está entendendo. Assim, o gráfico de quanto a academia vai nos custar por mês vai parecer com isso. Eles nos perguntam qual será o custo da associação no final do ano (12 meses), a gente teria que subir 2, 3... até chegar a 12 meses, que pode estar aqui. Nosso gráfico estaria por aqui, mas podemos descobrir de forma algébrica. No fim do ano, "m" será igual a 12; se "m = 12", qual será o valor da associação? Será 200 reais de taxa de matrícula mais 39 vezes o número de meses, que é 12. Quanto é 39 vezes 12? 2 vezes 9 é 18... 2 vezes 3 é 6... mais 1, 70... tem o "0"... 1 vezes 9 é 9... 1 vezes 3... vamos ignorar isso... 1 vezes 3 é 3... tem, então, 8... 7 mais 9 são 16... 1 mais 3, 4... portanto, o preço da nossa associação será 200 mais "39‧(12)", que dá 468 reais. O total no final do ano será de 668 reais. Assim, se fosse até 12, teria marcado 668 em algum lugar por aqui na nossa reta (se apenas continuasse a subir). Vamos fazer mais um. Bobby e Petra têm uma barraca de limonada e cobram 45 centavos por cada copo de limonada. Para fechar as contas, eles precisam faturar 25 reais. Quantos copos de limonada eles precisam vender para não ter prejuízo? Vamos fazer com "y" e "x". "y" é igual ao faturamento deles (o quanto eles faturam), "x" será igual ao número de copos vendidos. Quanto é "y" como uma função de "x"? Então, "y" é igual a... bom, para cada copo que eles venderem, devem ganhar 45 centavos; então, ele é igual a 45 centavos vezes o número de copos. Não há nenhum tipo de valor mínimo que precisam cobrar, ou eles não falam sobre nenhum tipo de custo mínimo que precisam gastar para administrar a barraca. Quanto precisam faturar para não ter prejuízo com cada copo de limonada? Eles precisam faturar 25 reais. Para equilibrar as contas, precisam faturar 25 reais. Quantos copos de limonada precisam vender? "y" precisa ser igual a 25 reais. Quantos copos eles precisam vender? Vamos criar a equação. Estamos dizendo que "0,45" vezes "x" deve ser igual a 25. A gente pode dividir os dois lados por "0,45". No lado esquerdo, vamos ficar com apenas "1x". Obtemos que "x" é igual a... quanto é 25 dividido por "0,45"? É igual a... eles teriam que vender exatamente "55,55" copos, ou 56 se arredondar (56 copos). Não é possível vender meio copo, ou estamos pressupondo que não é possível vender meio copo, por isso a gente arredondou. A resposta vai ser que eles têm que vender 56 copos, porque eu acredito que não dá para vender meio copo, eles precisam vender 56 copos para não ter prejuízo. Vamos colocar num gráfico. Mais uma vez, vamos ficar só no primeiro quadrante, porque todos os números são positivos. Para cada copo, eles faturam 45 centavos. Digamos que eles vendem... então, esse é o número de copos "x", isso é quanto eles faturam... vou subir em incrementos de 5 (5, 10, 15, 20, 25)... na verdade, o número de incrementos precisa ser maior para chegar ao ponto sobre o qual estamos falando. Vou subir de 10 em 10 (10, 20, 30, 40, 50, 60)... esse é o número de copos. Quando vendem zero copo, faturam zero real; esse ponto é a intersecção com "y" ("y = 0"). Quando vendem 10 copos, faturam "4,50" reais (esse aqui é 4 reais e 50 centavos). Esse é 9... na verdade, vou marcar apenas os múltiplos de 9 (digamos 9, 18, 27, 35). Quando eles vendem 10 copos, faturam "4,50" reais (10 vezes "0,45"); esse ponto aqui. 20 copos vão faturar 9 reais. Podemos continuar fazendo isso... 40 copos vão faturar 18 reais... Vocês estão vendo o coeficiente angular, quando sobem 10, estão aumentando "4,50" reais. Esse gráfico vai ficar parecido com isso; deve ser uma linha reta. A seguir, se quiser ver o ponto de equilíbrio deles, terá que ser 25 reais (que está logo aqui). O ponto de equilíbrio deles é 25 reais e está por aqui. Vou tentar traçar a reta um pouco melhor, a reta vai se parecer com isto. Se o ponto de equilíbrio é 25 reais, ele estará logo aqui. E veja que eles têm que vender cerca de 56 copos. Obviamente não tracei uma reta superprecisa, mas eu espero que você tenha entendido a ideia, Vai tomar um suquinho, vai!