Definição formal da derivada como um limite

RKA2G - Neste vídeo, vou querer relembrar com você algo muito importante: como determinar a inclinação de uma reta. E a primeira coisa que você precisa fazer para determinar a inclinação de uma reta seria traçar os eixos coordenados. Vamos fazer isso, vamos traçar o eixo "y"... E, diga-se de passagem, nós também podemos chamar este eixo "y" de função de "x" ou f(x)... E também vamos traçar o eixo "x". Aqui nós temos o eixo "x". Não podemos, também, deixar de traçar a reta, claro, afinal de contas, é isso que nós estamos tentando determinar: a inclinação de uma reta. Depois que fizemos isso, vamos escolher dois pontos nesta reta. Vamos supor que a gente pegue um ponto aqui, o ponto "a". Este ponto aqui tem as coordenadas (a, f(a)). Ou seja, este ponto tem, no eixo "x", um valor igual a "a", e, no eixo y, tem um valor correspondente a f(a). Não podemos esquecer que, para determinar esse valor, a gente vai usar a função da reta. E essa função da reta é igual a isto aqui: f(x) vai ser igual a mx, ou seja, "m" vezes "x", mais "n", em que "m" corresponde ao coeficiente angular e "n" corresponde ao coeficiente linear. Diga-se de passagem, é o "m" que nos diz a inclinação da reta. Agora que a gente já fez, já traçou o ponto "a", também vamos escolher um outro ponto, um ponto que eu vou chamar de "b". Vamos ter aqui: (b, f(b)). Lembrando que "b" corresponde ao valor que está aqui no eixo "x" e f(b) é o valor que está aqui no eixo "y". Então, temos aqui f(b). E a mesma coisa se aplica aqui: para conseguirmos determinar esse valor f(b), basta utilizar esta função da reta. Ok, agora que a gente já traçou esses dois pontos, a pergunta que eu quero fazer é: como nós podemos determinar a inclinação desta reta? Existem diversas formas de determinar a inclinação desta reta e uma delas é dividindo o valor que está no eixo "y" pelo valor que está no eixo "x". Mas não é necessariamente de um ponto, mas sim a variação entre esses dois pontos. Então, para calcular a inclinação desta reta, você pode calcular a razão entre a variação no eixo "y" com a variação no eixo "x". Lembre-se que essa é uma das formas de determinar a inclinação desta reta. Vamos lá, vamos fazer isso. Para determinar a inclinação desta reta que nós traçamos aqui, a gente vai calcular a razão entre a variação no eixo y pela variação no eixo "x", entre estes pontos "a" e "b". Mas qual seria essa variação no eixo "y"? Para sabermos a variação no eixo "y", a gente tem que ver o quanto no eixo "y" que se alterou entre o ponto "a" e o ponto "b". Por exemplo, se a gente pegar aqui desde o ponto "a" até o ponto "b", a gente vai ter esta variação aqui, que podemos projetar neste eixo "y" Então, a variação no eixo "y" vai ser a variação desde f(a) até f(b). Então, para calcular essa variação no eixo "y", basta simplesmente calcular a diferença entre f(b) e f(a). E o mesmo se aplica à variação no eixo "x": Você vai pegar e ver o quanto que variar, no eixo "x", de "a" até "b". Vai ser esta distância aqui que, se nós projetarmos aqui no eixo "x", vamos ter uma diferença entre "b" e "a". Então, para calcular essa variação entre o ponto "a" e o ponto "b" no eixo "x", basta calcular a diferença entre "b" e "a". Isso vai corresponder à inclinação da reta. Vamos ver como isso se aplica valores reais. Vamos supor que este ponto tem os valores iguais a (2, 3) e que este outro ponto tem os valores iguais a (5, 7). São estas as coordenadas destes dois pontos. Ou seja, o valor de "a" neste ponto "x" seria igual a 2 e o valor de "b" vai ser igual a 5, já que se trata dos valores na coordenada "x". O valor de f(x), no caso de "a", vai ser 3 e, no caso de "b", vai ser 7. Para determinar esta inclinação, nós vamos fazer isto: f(b) - f(a). Qual seria o valor correspondente a f(b)? O f(b), neste caso, é 7. Nós vamos ter: 7, menos f(a), que neste caso é 3, sobre (b - a). O ponto "b" é igual a 5 e o ponto "a" tem um valor igual a 2. Então, vamos ter 5 - 2. 7 - 3 = 4. E 5 - 2 = 3. Então, a gente vai ter aqui 4 sobre 3, ou 4/3. 4/3 é o valor que corresponde à inclinação desta reta. Algo interessante que eu não posso deixar de comentar é que, no caso de uma reta, essa inclinação não muda. Independente do ponto que a gente vai escolher, esse coeficiente angular que representa a inclinação da reta não vai mudar, vai ser sempre a mesma. Mas agora eu quero te mostrar um caso mais geral, um caso em que a gente possa ter qualquer curva e mesmo assim conseguir encontrar a inclinação em qualquer ponto dessa curva. Como que a gente pode fazer isso? Eu vou te mostrar isso agora e vou fazer aqui do lado, para a gente conseguir comparar essas ideias. Para começar a pensar essa ideia de inclinação em uma curva, eu vou traçar novamente aqui os eixos coordenados. A gente vai ter aqui o eixo "y" e, aqui, o eixo "x". E eu vou utilizar uma curva muito familiar, uma curva que você já conhece: a curva que representa a função x². Essa curva é mais ou menos deste jeito. Isto corresponde à curva x². Como eu já falei com você, normalmente, uma reta tem uma inclinação constante. Mas não é o caso de uma curva. Uma curva não tem como ter uma inclinação constante. Em cada ponto tem uma inclinação diferente. Então, por exemplo, se eu colocasse um ponto aqui, neste ponto teria uma reta com uma inclinação mais ou menos deste jeito. Se eu pegasse agora e traçasse outro ponto aqui, esse outro ponto teria uma inclinação um pouco menos negativa do que esta, ou seja, um pouco menos inclinada que esta. Teria uma inclinação mais ou menos deste jeito. Você está conseguindo perceber que esta reta é menos inclinada que esta? Se a gente pegar o ponto zero, a inclinação é nula. Ou seja, a gente tem uma reta horizontal neste ponto. Se pegarmos um ponto positivo, vamos ter uma inclinação positiva, deste jeito. E o mesmo ocorre se eu pegar um outro ponto: a gente vai ter uma reta mais inclinada, uma inclinação ainda maior. Ou seja, diferente da reta, em que todos os pontos vão ter a mesma inclinação, em uma curva a inclinação muda em cada ponto que nós estamos observando. Então, mesmo que a ideia seja a mesma, para determinar a inclinação nesta curva, a gente não pode simplesmente calcular a variação entre dois pontos. A gente vai precisar utilizar outras ideias. Vamos fazer isso observando aqui embaixo. Novamente, vamos traçar os eixos coordenados. Aqui a gente tem o eixo "y" e aqui o eixo "x". Vamos traçar a parte positiva dessa função de x², lembrando que esta curva é a curva que representa a função f(x). Que poderia ser qualquer outra curva, se a gente estiver falando de uma forma mais generalizada. Vamos pegar novamente um ponto nesta curva. Vamos dizer que este primeiro ponto é o ponto "x" e aqui, obviamente, a gente vai ter uma função para esse "x". Só para deixar mais específico esse "x", vamos colocar que ele seja um x₀. Que seja um valor específico, um ponto específico. Como eu já falei, a gente tem aqui uma curva e a inclinação da reta que passa por este ponto vai mudar de ponto a ponto. Então, não poderíamos simplesmente pegar a variação entre dois pontos aqui para calcular a inclinação da reta. Mas, mesmo assim, vamos partir deste ponto. Vamos partir dessa ideia. Vamos pegar um outro ponto aqui, em que esse ponto seja um ponto levemente maior do que o x₀ e que não seja um ponto muito distante. Vamos ter o ponto aqui, x₀ + h. O outro ponto aqui é um pouco depois do x₀. Se, aqui, a gente tem x₀ + h, aqui vamos ter f(x₀ + h). Não podemos esquecer também que esta reta vertical corresponde a f(x) e esta reta horizontal corresponde ao eixo "x". Podemos observar que a definição da inclinação é esta: f(b) - f(a), sobre b - a. que neste caso seria f(x₀ + h) - f(x₀), sobre (x₀ + h) - x₀. No entanto, a gente não pode simplesmente traçar uma reta entre estes dois pontos para determinar a inclinação, até porque a reta que vai estar passando por estes dois pontos não indica, necessariamente, a inclinação aqui no ponto x₀, e nem a inclinação no ponto x₀ + h, mas sim uma reta secante que vai estar passando por esses dois pontos. Então, deixe-me traçar novamente essa curva para observarmos melhor. Aqui nós temos o ponto (x₀, f(x₀)) e aqui nós temos o ponto (x₀ + h, f(x₀ + h)). A reta que vai estar passando por estes dois pontos, como eu disse, não corresponde à inclinação neste ponto nem neste ponto, mas sim à reta secante passando por estes dois pontos. Temos aqui, então, a reta secante. E essa reta secante não corresponde à inclinação neste ponto x₀, que é o que nós estamos querendo encontrar, mas é uma boa aproximação. E podemos partir desta reta secante para encontrar a inclinação da reta que passa por este ponto x₀. Então, vamos utilizar essa definição da inclinação desta reta e vamos fazer isso aqui embaixo. A inclinação desta reta secante vai ser igual a... Vamos utilizar esta definição da inclinação e aplicar a esta reta secante para conseguirmos chegar a algo próximo à inclinação deste ponto, que é o que nós estamos querendo encontrar. Então, vamos lá: a inclinação vai ser igual à variação de "y" sobre a variação de "x". Qual seria a variação de "y" e a variação de "x" entre estes dois pontos? A gente pode projetar aqui. Aqui a gente vai ter a variação para "y" e, aqui, a variação para "x". Então, a inclinação desta reta que passa por estes dois pontos... A inclinação da reta que passa por estes dois pontos que nós traçamos vai ser igual à variação de "y", que vai ser f(x₀ + h) - f(x₀), sobre a variação de "x", que vai ser (x₀ + h) - x₀. Vamos colocar isso aqui. A inclinação vai ser igual a f(x₀ + h), menos f(x₀), sobre (x₀ + h) menos x₀. Lembrando que isto aqui é igual à variação de "y" sobre a variação de "x". Uma coisa que podemos observar aqui, agora, é que aqui a gente tem x₀ - x₀, certo? Então, a gente pode anular estes dois valores, estes dois pontos, já que eles são valores bem específicos. Vai sobrar, então, no denominador, apenas o "h". Então, nós temos que a inclinação da reta secante, que é esta reta que nós traçamos aqui entre estes dois pontos, vai ser igual a f(x₀ + h) - f(x₀), sobre... Como nós cortamos este x₀ com este -x₀, a gente vai ter apenas o "h" aqui embaixo. E claro, isso vai ser igual a Δy/Δx. Uma coisa que eu fiz no início foi falar que este ponto aqui, este ponto (x₀ + h, f(x₀ + h)) é um valor muito próximo ao (x₀, f(x₀)). Ou seja, nós pegamos uma pequena distância aqui. Então, temos que este "h" é um valor muito pequeno . É um valor que poderia ser, por exemplo, 10 ou 0,1, 0,0001, 10⁻²⁰... Ou seja, um valor muito pequeno. E o mais legal nisto é que, quanto menor for esse número "h", mais próximo a gente vai estar deste ponto x₀. Então, se a gente tivesse um valor aqui neste ponto, teria uma certa inclinação aqui. Se tivesse neste ponto, a gente teria outra inclinação. Aqui neste ponto, uma outra inclinação. E, quanto mais a gente se aproxima do x₀, mais próximos nós estaremos da reta que corresponde à inclinação nesse ponto x₀. Então, o que aconteceria se a gente pegasse o limite de "h" tendendo para zero? Provavelmente a gente chegaria a uma inclinação da reta que está muito próximo, ou seja, que está tendendo à inclinação da reta que passa por este ponto x₀. E é isso que nós vamos fazer aqui: nós vamos determinar o limite dessa função para conseguir determinar a inclinação da reta que passa por esse ponto x₀. Então, o limite de "h", indo para zero, de f(x₀ + h) - f(x₀) sobre "h". Existem alguns livros que, ao invés de usar "h", vai usar Δx. Então, por exemplo a gente vai ter aqui x₀ e aqui x₀ + Δx. Vai ser o limite de Δx indo para zero de f(x₀ + Δx) - f(x₀), sobre Δx. Independente da forma que usar, a ideia é a mesma. A gente vai ter aqui um limite desta variação sobre "h" com "h" tendendo a zero. E esta é a definição de algo que a gente costuma chamar, no cálculo, de "derivada". Isto aqui seria a derivada de f(x). E, como a derivada é o limite com "h" indo para zero, Ela vai dizer para a gente qual é a inclinação da reta neste ponto x₀ ou em qualquer outro ponto aqui desta curva. E pelo fato dessa inclinação estar mudando o tempo todo, essa derivada também é uma função, já que ela vai mostrar a inclinação em qualquer ponto da curva e que essa inclinação está variando em cada um desses pontos. Inclusive, a gente pode chamar essa função de f'(x). Então, essa função f'(x) vai ser o limite de "h" indo para zero desta outra função aqui e que vai corresponder à inclinação da reta em qualquer ponto desta curva. Agora que a gente já fez isso, já chegou a essa ideia de derivada, Basta simplesmente substituir o valor de "x" aqui nesta função para calcular a derivada neste ponto "x", para calcular a derivada neste ponto e, assim, conseguir determinar a inclinação da reta neste ponto. Eu sei que está tudo muito abstrato agora, mas no próximo vídeo eu vou te mostrar um exemplo de como você consegue aplicar essa definição a alguma função e encontrar a derivada em qualquer ponto dessa função e, consequentemente, a inclinação da reta nesse respectivo ponto.