A derivada de x² em x=3 usando a definição formal

RKA4JL - Vimos em vídeos anteriores que a derivada de uma função f(x), ou seja, f'(x) é o limite quando h tende a zero de f(x₀ mais um incremento h) menos f(x₀) sobre esse incremento h. O que vamos mostrar neste vídeo é que nós podemos abordar essa inclinação, essa tangente, que é a inclinação da nossa derivada, como uma aproximação pela reta secante. Então vamos pegar um eixo x e y e uma curva qualquer. Uma curva qualquer passando aqui pelo ponto (0,0), depois ela vai aumentando, aumentando, e vamos supor que essa curva seja y igual a x². Então se essa curva é y igual a x², no ponto 3 ela vai valer 9. No ponto 3 mais um certo Δx, ela vai valer (3 mais Δx)². O que nos dá a inclinação da reta secante? A nossa reta secante vai partir deste ponto para esse ponto. Essa é a nossa reta secante. E a inclinação vai ser o cateto oposto, ou seja, o nosso Δy sobre o cateto adjacente, que vai ser nosso Δx. Essa vai ser a inclinação da nossa reta secante. Então nós temos Δy sobre Δx. Quem vai ser Δy e quem vai ser Δx? Podemos abrir esse parênteses. Temos o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Isto aqui é este ponto aqui, (3 mais Δx)², mas queremos essa distância daqui para cá, portanto vai ser a distância total, que é esse ponto que nós achamos, menos 9. Portanto, -9. E daqui para cá nós temos 3 mais Δx menos 3 obviamente, pois se nós temos 3 mais Δx menos 3, nós vamos ter o próprio Δx. Então podemos, agora, simplificar esse 9 com esse 9 aqui, este 3 com esse 3 aqui e ficamos com Δy sobre Δx como sendo ( 6 Δx mais (Δx)²) sobre Δx. Podemos simplificar mais. Podemos simplificar mais cortando tudo por Δx, então ficamos com 6 mais Δx. O que acontece com essa reta secante quando Δx for se aproximando de zero? Essa inclinação da reta secante vai ficando cada vez mais próxima da reta tangente nesse ponto, e a reta tangente nesse ponto 3 vai ser exatamente a derivada da minha função no ponto 3, que vai ser a inclinação, ou a reta tangente, nesse ponto 3. Então ficamos com o limite de Δy sobre Δx quando Δx tende a zero, ou seja, essa reta secante vai tender a quê? Nossa reta secante nós vimos que é o limite de 6 mais Δx quando Δx tende a zero e isso vai ser igual a 6, ou seja, no ponto 3 a inclinação vai ser 6. A reta secante deixa de ser secante e passa a ser a reta tangente, que é a nossa derivada. Nós podemos chegar a essa conclusão pela derivada de f(x). f(x) é x², então quem é f'(x)? f'(x) vai ser 2x. E quem vai ser f' no ponto 3? Vai ser igual a 2 vezes 3, que é igual a 6. Portanto aqui nós temos a inclinação da reta tangente, que é a derivada no ponto 3, e aqui nós temos a inclinação da reta secante quando Δx tende a zero, que é quando eles possuem o mesmo valor.