Reta secante com ponto arbitrário (com simplificação)

RKA2G - A reta secante intercepta o gráfico de f(x) em que f(x) = x² + 5x. E essa reta secante vai interceptar esse gráfico em dois pontos, em que as coordenadas "x" é 3 e "t". Então, temos estas duas coordenadas aqui, dos dois pontos em que a reta secante vai interceptar o gráfico de f(x). E onde "t" tem que ser diferente de 3. Qual é a inclinação da reta secante em termos de "t"? Sua resposta deve ser totalmente expandida e simplificada. Uma coisa interessante é que a gente já tem as coordenadas em "x", que é 3 e "t". E, para encontrar a coordenada "y", basta substituir estes valores aqui na função. Vamos fazer isto através de uma tabela, em que aqui temos a coordenada "x" e aqui temos a coordenada "y" igual a f(x). Primeiro vamos fazer para o primeiro ponto, em que a coordenada "x" é igual a 3. Substituindo este 3 aqui na função, nós vamos ter: 3² + 5 vezes 3. 3² = 9, 9 + 15 = 24. Então, "y" aqui vai ser igual a 24. Ou seja, quando "x" é igual a 3, "y" é igual a 24. Já encontramos as coordenadas deste primeiro ponto. O segundo ponto é "t". Quando "x" for igual a "t", nós vamos ter: t² + 5t. O que nós queremos aqui é a inclinação da reta secante. Para encontrar a inclinação da reta secante, basta dividir a variação no eixo "y", que é o Δy, pela variação no eixo "x", que é o Δx. Então, vamos calcular esta inclinação. A inclinação da reta secante vai ser igual a Δy dividido por Δx. Como nós podemos calcular o Δy? Pegando "y" no ponto final e subtraindo com "y" no ponto inicial. Assim, nós vamos ter: t² + 5t, que é o "y" no ponto final, ou seja, no ponto "t", menos o "y" no ponto inicial, que é 24. Isso dividido pela variação no eixo "x". E qual é a variação no eixo "x"? A mesma coisa: O "x" no ponto final, menos o "x" no ponto inicial. Então, nós vamos ter: t - 3. Já temos aqui a inclinação da reta secante que passa por estes dois pontos. Mas o problema pede também para encontrar uma forma simplificada, e a gente consegue fazer isso. Podemos simplificar isto colocando o valor que está aqui no numerador de outra forma. Por exemplo: t² + 5t - 24 vai ser igual a (t + 8) vezes (t - 3). Isso porque 8 - 3 = 5 e 8 vezes -3 = -24. Isto é uma outra forma de expressar o que está no numerador. E o interessante é que podemos cancelar este (t - 3) com este (t - 3) do denominador. Assim, temos que a inclinação da reta secante, em uma forma reduzida e simplificada, vai ser igual a t + 8. Ok, porém nós temos um pequeno problema. Esta expressão, (t + 8), não é a mesma coisa que esta expressão aqui. Até porque, para esta expressão, o t = 3 é definido, enquanto que, para esta outra expressão, o "t" não é definido no 3. Temos algum problema. No entanto, esta expressão aqui é igual a esta para todos os valores que não sejam iguais a 3. Assim, para deixar isto bem mais objetivo, podemos dizer o seguinte: a inclinação da reta secante é igual a t + 8 para todos os valores em que "t" seja diferente de 3. Para todos os valores, desde que "t" não seja igual a 3. Claro que você vai até olhar para isto e dizer o seguinte: Olha, eu estou deixando claro que o "t" é diferente de 3. Isto fica até meio redundante. Mas é legal colocar desta forma para deixar isto bem explícito: que a inclinação da reta secante em termos de "t", de uma forma simplificada, é t + 8, desde que "t" seja diferente de 3.