Reta secante com ponto arbitrário

RKA3JV - Uma curva tem a equação "y = ln x" e passa pelo ponto "P", em que este ponto "P" tem as coordenadas (e, 1) e também pelo ponto "Q", em que este "Q", tem as coordenadas (x, ln x). Escreva uma expressão em "x" que dê a inclinação da secante que liga os pontos "P" e "Q". A primeira coisa que nós vamos fazer aqui é traçar os nossos eixos coordenados. Então, aqui a gente tem o "y" e aqui nós temos o nosso eixo "x". Deixe-me desenhar este "y" aqui um pouco mais para baixo só para a gente ter uma ideia legal do gráfico que representa esta função "y = ln x". A primeira coisa que nós podemos fazer aqui, o que nós precisamos fazer para começar a plotar este gráfico "y = ln x" é buscar um ponto em que o "y" se torne igual a zero. Ou seja, um ponto em "x", um valor em "x" que faça o "y" ser igual a zero. Assim, a gente verá o ponto em que o gráfico, em que a função passa aqui pelo eixo "x". E o ponto que faz o "y" ser igual a zero é quando a gente tem "x = 1". Porque ln 1 = 0. Então, nós podemos até colocar aqui. Quando "x = 1", a gente vai ter o "y = 0". Então, este é o nosso ponto. Se você colocar valores aqui abaixo de 1, você vai ver que o "y" vai se tornar negativo. Porque o logaritmo natural de números entre zero e 1 são números negativos. E à medida que este "x" vai ficando cada vez mais próximo de zero, o "y" vai se tornando cada vez mais negativo e vai tendendo ao infinito. Assim, a gente consegue ter uma ideia de que este gráfico aqui vai ter algo, mais ou menos, semelhante a isto aqui. Aqui, vai tendendo para o menos infinito e aqui sobe deste jeito. Claro, é só para a gente ter uma ideia mais ou menos de como é este gráfico do y = ln x. Agora, o que nós queremos? A gente quer uma reta secante que passa por estes pontos "P" e "Q", certo? O ponto "P" é bem definido. A coordenada "x = e", e a coordenada "y = 1". Então, por exemplo, a gente tem aqui a coordenada 1, mais ou menos aqui, a gente vai ter o 2, mais ou menos aqui, o 3. E aqui, um pouquinho antes do 3, a gente tem esta coordenada "e", de uma forma em que este ponto aqui tenha a coordenada "x = e" e o y = 1. Então, este daqui vai ser o nosso ponto "P". E a gente quer a reta secante, obviamente, que liga este ponto "P" a um outro ponto "Q" arbitrário qualquer. Então, poderia pegar este ponto aqui, por exemplo, em que este daqui seria o nosso ponto "Q", em que a coordenada "x" é uma coordenada arbitrária qualquer. A gente poderia pegar qualquer outro ponto, tudo bem? E a nossa coordenada "y" é o "ln x". Então, este ponto "Q" tem as coordenadas (x, ln x). Nós queremos a inclinação da reta secante que liga estes dois pontos. Então, a gente pode traçar aqui uma reta secante ligando estes dois pontos. Esta seria a nossa reta secante. E se a gente quer a inclinação da reta secante, como que a gente consegue determinar isso? Através da variação no eixo "y" e a variação no eixo "x". Por exemplo, aqui na horizontal, deste jeito, paralelo o eixo "x", a gente vai ter uma variação no eixo "x". E aqui a gente vai ter uma variação no eixo "y". A variação no eixo "x" aqui, neste caso, vai ser igual ao ponto final, que é "x", menos o ponto inicial, que é "e", menos a coordenada "x" inicial. E a variação no eixo "y" é a mesma coisa. A coordenada "y" no ponto final, que é o ln x, menos a coordenada "y" no ponto inicial que é 1. Agora, que nós já temos estas variações, a gente consegue determinar a inclinação desta reta secante, dividindo a variação no eixo "y" pela variação no eixo "x". Então, a nossa inclinação, a inclinação desta reta secante, vai ser igual a Δy / Δx. Em que a variação no eixo "y" é igual ao ln x menos 1 sobre a variação no eixo "x" que é "x" menos "e". Isto aqui corresponde à inclinação da reta secante que liga estes dois pontos, os pontos "P" e "Q".