Geometria: mais trigonometria (padrão californiano)

RKA - Estamos no problema 66. No diagrama abaixo, a medida do ângulo "A" é 32 graus, e do segmento AC é igual a 10. Qual é a equação que poderia ser usada para calcular o valor de "x" no triângulo ABC? Queremos determinar o valor de "x". Vamos lembrar da palavra "Soh Cah Toa" para, então, lembrarmos de todas as relações da trigonometria. O que o exercício nos dá? "x" é a medida do cateto oposto ao ângulo de 32 graus, esse é o lado oposto ao nosso ângulo em questão. Então, o cateto que mede 10, é o adjacente. Ainda não olhei as alternativas, mas, se pensarmos que a tangente de 32 deve ser igual ao cateto oposto, que mede "x", sobre o cateto adjacente, que mede 10, e multiplicarmos os dois lados dessa igualdade por 10, teremos que 10 vezes a tangente de 32 graus é igual a "x". Espero que seja uma das alternativas. É a alternativa C, x = 10 tan 32º. Tudo em trigonometria realmente se resume às razões trigonométricas, que podem ser lembradas pela palavra "Soh Cah Toa". Quando, de fato, tiver aula de trigonometria, verá todas as fórmulas de trigonometria, e tudo mais, e verá que todas aquelas coisas podem ser provadas com base em "Soh Cah Toa". Essas definições de razões que têm sido muito úteis. Muito bem, exercício 67. Mas, você pode ver, temos uma "playlist" inteira sobre trigonometria, e falaremos sobre as razões trigonométricas, o círculo unitário, enfim. Então, se está gostando destes problemas, recomendo que assista a esses vídeos, ou, se não entende esses problemas, recomendo ainda mais! Beleza, o desenho mostra uma escada apoiada na parede. A escada forma um ângulo de 53 graus com a parede. Qual é a medida da altura que a escada encosta na parede? Isso é o que o exercício pede para a gente calcular, essa distância aqui. Se escrevermos "Soh Cah Toa", podemos lembrar das razões trigonométricas mais facilmente. Temos o valor desse ângulo, e com o que ele se relaciona? Ele se relaciona com a hipotenusa, que mede 2,5 metros, também com o lado adjacente a ele. Qual é a função trigonométrica que relaciona com o lado adjacente e com a hipotenusa? Bom, vamos escrever Soh Cah Toa. Queremos descobrir o valor do lado adjacente, e temos a medida da hipotenusa. Qual é a função trigonométrica que relaciona tudo isso? Bom, "cosseno" é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, o cosseno de 53 graus é igual ao cateto adjacente em relação a esse ângulo, dividido pelo valor da hipotenusa. Você pode aplicar isso apenas para triângulos retângulos. Mais tarde, aprenderemos na trigonometria, como as funções trigonométricas são úteis para qualquer triângulo, porque, obviamente, apenas um triângulo retângulo tem uma hipotenusa, outros triângulo não retângulos não têm hipotenusas. Então, esses "h" não teriam significados se não estivéssemos lidando com triângulos retângulos. De volta problema: cosseno de 53 é igual ao cateto adjacente sobre hipotenusa, que é 2,5 metros, posso escrever "x" aqui. "x" é o cateto adjacente. Então, multiplicamos os dois lados disso por 2,5. Temos 2,5 vezes o cosseno de 53 graus é igual a "x". É dado no exercício que o cosseno de 53 graus é aproximadamente igual a 0,6. Então, temos 2,5 vezes 0,6 igual a "x". 2,5 vezes 0,6 é 1,5. Então, "x" é igual a 1,5. E essa é a alternativa B. Problema 68. O triângulo JKL é mostrado abaixo. Muito bem. Qual é a equação que deve ser usada para encontrar o comprimento do segmento JK? Isso é JK. Muito bem, temos esse ângulo, aqui. JK é o cateto oposto. Queremos descobrir o cateto oposto, quanto ele mede. Temos a hipotenusa. Qual função trigonométrica relaciona o cateto oposto com hipotenusa? A relação é descrita por "S O H", "Soh". Seno é igual a cateto oposto dividido pela hipotenusa. Nem preciso escrever "Soh Cah Toa" por completo, porque seno é igual ao cateto oposto sobre hipotenusa. Nesse caso, seno de 24 graus é igual ao cateto oposto, que é o lado JK, sobre a hipotenusa. Essa é a hipotenusa, aqui, e mede 28. O maior lado do triângulo retângulo, ou lado que é oposto ao ângulo de 90 graus. Talvez tenhamos terminado, seno de 24 graus é igual a JK sobre 28. Essa é a alternativa A. Problema 69. Os problemas são meio divertidos, não são? Bom, vamos lá: qual é a altura aproximada, em metros, da árvore na figura abaixo? Agora você vai ver porque trigonometria é útil, porque, com certeza, você frequentemente se pergunta: "qual é o tamanho daquela árvore?". Talvez seja difícil subir nela, agora, você pode usar trigonometria. Se tem como conseguir medir o ângulo entre a sua linha de visão e o topo da árvore, provavelmente vai conseguir calcular. E pode descobrir também as alturas de coisas que estão longe de você, se souber quão longe você está delas. Enfim, vamos trabalhar nesse problema. Qual é a altura aproximada, em metros, da árvore na figura abaixo? Ok. Então, isso é 50, vamos pensar nisso. O que deram aqui? Isso é 90, isso é 50 graus. Então, é pedida a altura aproximada em metros. Ok, esse é o cateto oposto desse ângulo, vamos chamar isso de "h". O que trata do cateto oposto? Na verdade, eu usei "h", vamos chamar isso de "o", "o" é a altura da árvore porque é oposto a esse ângulo de 50 graus. O que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa? Mais uma vez, "Soh Cah Toa". Temos apenas que olhar para parte "Soh". Seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa, seno de 50 graus é igual ao cateto oposto a esse ângulo, que é a altura da árvore, chamarei de "o" a altura da árvore, sobre a hipotenusa, a hipotenusa é 30 metros. Multiplique os dois lados por 30, temos 30 vezes seno de 50 graus, igual a esse cateto oposto, que é igual à altura da árvore. Seno de 50, é 0,76. Então 0,76 vezes 30 é igual a "o", 22,8 é igual a "o", ou altura da árvore. Ah, o seno é 0,766. O resultado exato é 22,98. E essa é a alternativa B. Legal. Problema 70. Esses são rápidos. "a" é igual a 3 raiz de 3 no triângulo abaixo. Acho que você vai aprender mais sobre triângulos com ângulos de 30, 60 e 90 agora. Qual é o valor de "b"? Muito bem. Talvez o exercício necessite que já saiba algo sobre triângulos com ângulos de 30, 60 e 90. De qualquer forma, se "a" é igual a 3 raiz de 3, quanto mede "b"? Estou pensando se devo assumir que já conhece, mas vamos pensar sobre isso um pouco. Deixe eu ver como eu posso fazer isso sem recorrer apenas à definição de triângulos de 30, 60 e 90. Eu vou provar para você, embora, mais tarde, possa memorizar quando falo triângulos de 30, 60 e 90. Sabemos que esse aqui é 60 graus, porque 30 mais 60 mais 90 é igual a 180. Então, é por isso que podemos chamar isso de "triângulo de 30, 60 e 90". Como descobrimos esse lado, se sabemos apenas aquele lado? E a gente sabe que esse é 30. Então, o que eu vou fazer é tentar redesenhar esse mesmo triângulo, mas eu vou girá-lo. E essa é, de fato, a prova de como descobrimos as medidas de um triângulo de 30, 60 e 90. Talvez eu use uma cor diferente aqui, e eu tenho algum tempo, então, vamos lá. Vejamos, então, vou fazer assim. Terei que descer outra linha, assim. Terei que desenhar outra reta, desse jeito. Eu acho que entendeu, né? E vou trazer uma reta, cruzando, assim. Na verdade, vou desenhar outra reta para baixo, como essa. Ok, vejamos o que dá pra fazer com isso. Talvez esse seja um jeito mais fácil de fazer isso, mas esse é apenas o que estou pensando agora. Pense sobre isso. Nesse desenho que eu fiz, esse triângulo é apenas um reflexo daquele. Esse aqui, também é 60 graus. Isso é 60, isso é 60, quanto será esse ângulo? São coletivamente suplementares uns dos outros. Se for até o final, daqui até ali terá 180, esse grande ângulo, aqui, tem que ser 60. Esse ângulo é complementar de 30, então é 60, então esse é 60. Portanto, esse é um triângulo equilátero, todos esses lados serão iguais, aquele lado é igual àquele lado, que é igual a esse lado. Agora, deixa eu fazer outra pergunta. Quanto mede esse lado aqui? Deixe eu desenhar a menor parte. E ,uma vez que memorizar os triângulos de 30, 60 e 90, você não precisa fazer tudo isso, mas é bom ser capaz de provar de novo. Então, quanto é esse comprimento aqui? Se olharmos aquele comprimento, é "a". Isso era só um reflexo, então, isso também tem comprimento "a". Esta base toda do triângulo equilátero é "2a". É um triângulo equilátero, então todos os lados são iguais, então, isso é "2a", e isso é "2a". Apenas assim fomos capazes de descobrir a hipotenusa. E querem saber quanto é o valor de "b". Uma vez que conhecemos dois lados de um triângulo retângulo, é muito fácil descobrir o terceiro lado. Sabemos que "a" ao quadrado mais "b" ao quadrado é igual a "c" ao quadrado, deixe eu escrever isso. a² + b² = c². Quanto é "a²"? "a" é 3 raiz de 3. "a²" quadrado seria, deixe eu escrever, (3 √3)² + b² é igual a... vou fazer em outra cor. Quanto é "c"? Acabamos de descobrir que é 2 vezes "a". Então, é (6√3)² . Por isso, fizemos tudo isso para descobrir que esse comprimento é o dobro daquele comprimento. Muito bem, agora vamos simplificar. Se a gente pegar (3√3)², essa é a mesma coisa que 3² vezes √3² , é 9 vezes 3 mais "b²", que é igual a 36 vezes 3. Então, isso é 27 + b², 36 vezes 3 é 108, subtraia 27 dos dois lados, b² = 81. b = 9. É a alternativa A. Enfim, você deveria ver os vídeos que eu fiz na playlist de trigonometria sobre triângulos de 30, 60 e 90, se quer ser capaz de fazer isso mais rapidamente. Mas acho que foi útil, porque, de fato, viu como podemos descobrir os lados de um triângulo de 30, 60 e 90 sem ter precisado memorizar antes. Te vejo no próximo vídeo!