Geometria: triângulos e paralelogramos (padrão californiano)

RKA1C Estamos no problema 21: "Na figura abaixo, n é um número inteiro. Qual o menor valor possível para n?" Estes dois lados são n... Isto é muito bom para a intuição porque é mostrado em todas as formas de testes padronizados. Vamos pensar sobre o quão pequeno conseguimos fazer o n. Quanto menor o topo desta pirâmide fica, menor fica o n. Se a gente empurrasse o topo dessa pirâmide bem para o alto, n teria que ser bem grande! Por exemplo, se fizéssemos um triângulo dentro daquele... Claramente, este comprimento é menor que aquele comprimento. A gente quer continuar abaixando isto para conseguir o menor n possível. Mas o que acontece se abaixarmos isso tudo? Se achatarmos esse triângulo? Se achatássemos até embaixo? Essencialmente, seria em cima disto... Este seria n, e este seria n. Espero que esteja visualizando da forma correta, achatei o triângulo. Estes dois lados iriam ficar sobre a base e o topo, se eu fizer em vermelho, é aqui. Isso é o menor que n poderia ficar. Alguém pode perguntar: "Isso ainda é um triângulo?" Na verdade, é um segmento de reta agora porque eu exprimi tudo da área. Mas, até nesse caso, n teria que ser... No menor caso, n seria 7,5. Cada n seria metade desse 15. Conforme puxamos essa base para baixo... É o limite que n consegue, n não consegue ser menor do que 7,5. E eles dizem que n é um número inteiro. O n tem que ser maior que 7,5 para isso ser um triângulo. O n é um número inteiro... O n é igual a 8, é a alternativa C. É importante ter essa intuição de forma geral, que o terceiro lado de um triângulo nunca pode ser maior que dois dos outros lados somados. Senão você está lidando com outra coisa, não está lidando com um triângulo. Se o terceiro lado é igual aos outros dois lados... Na verdade, está lidando com um segmento de reta se tem que espremer tudo para fora da área do triângulo para chegar lá. Eu gostei desse problema! Próxima pergunta. Eu acho, só dando uma olhada, que eles querem que a gente faça a mesma coisa. É o mesmo tipo de intuição. No vídeo anterior, falei que eles não estavam fazendo problemas que testassem sua intuição, mas vou retirar o que eu disse porque acho que é o que eles estão fazendo agora, estão testando. "Qual dos conjuntos seguintes poderia representar o comprimento dos lados de um triângulo?" "2, 2, 5". É a mesma coisa de novo. Como consigo ter dois lados de um triângulo juntos, sendo mais curtos que o terceiro lado? Se eu tivesse um lado de comprimento 2 e outro lado de comprimento 2, não teria como este último lado ser 5, certo? Mesmo tendo achatado completamente esse triângulo com 2 e 2, o mais longo que este último lado, esse terceiro lado, seria... Tem que ser menor que 4, ele não pode ser um triângulo. O mesmo aqui, vamos fazer para os outros: "3, 3, 5". Não tem razão para este não ser um triângulo. 3 e 3... 3 mais 3 é 6. Mesmo tendo achatado bastante, este lado pode ser mais longo que 6 e, obviamente, poderia espremer os dois juntos assim. 3 e 3. E esse terceiro lado pequeno poderia ser alguma coisa bem pequena porque não é nada entre 0 e 6. Obviamente, pode ser 5. Esta vai ser a resposta! "4, 4, 5". Mesmo problema, teria que espremer muito o triângulo. Se eles são dois dos lados, 4 e 4, este último lado vai continuar sendo menor que 5. A única maneira de chegar a 5 é puxar o topo desse triângulo todo para baixo, essencialmente fazer um segmento de reta. De novo, um lado de um triângulo não pode ser maior que dois dos outros lados juntos. Na verdade, pode ser igual a dois dos outros lados juntos. A gente está lidando com um segmento de reta, eles realmente estão testando a nossa intuição. A alternativa correta é B. 23. Copio e colo isso... Ok. "No diagrama que acompanha, as retas paralelas l e m são cortadas ou interceptadas pela transversal t." Duas retas paralelas clássicas com um problema transversal, por isso fiz aquelas setas. Ok? "Qual afirmação sobre os ângulos 1 e 2 deve ser verdade?" Eu não sei se viu os vídeos da Khan Academy do jogo de ângulo, mas é o que vamos jogar aqui: o jogo do ângulo. Ângulo 1! Se quiser olhar para seu ângulo correspondente na outra reta paralela ou com a transversal... A outra reta paralela está aqui. Eles serão congruentes, estes dois ângulos serão congruentes. Você poderia dizer que este é igual à medida do ângulo 1... Peguei a terminologia correta, eu acho. Esse é igual à medida do ângulo 1 e esse, obviamente, é o ângulo 2. Vemos imediatamente que eles têm que ser suplementares porque, quando somados, obtém-se 180 graus. Juntos, eles dão meia volta e formam uma reta. Você sabe que este ângulo e este ângulo são suplementares, e este ângulo é congruente ao ângulo 1. Então, o ângulo 1 e o ângulo 2 devem ser suplementares. O que eles dizem? "Ângulo 1 não é, necessariamente, congruente ao ângulo 2." É congruente a este ângulo aqui. "Ângulo é um 1 complemento do ângulo 2." Complemento significa que os ângulos somam 90 graus. Não! Estamos falando de suplemento, não é isso. "Ângulo 1 é um suplemento do ângulo 2." Agora sim! Não há nada que diga que eles são ângulos retos, é bobagem. Próximo problema! Deixa eu copiar e colar isto. Ok. Pronto. "Que valores... Deixa eu pegar uma cor boa. "Que valores de A e B fazem o quadrilátero MNOP ser um paralelogramo?" Para isto ser um paralelogramo, o lado oposto tem que ser igual. Te desafio a experimentar desenhar um paralelogramo onde os lados opostos são paralelos, onde os lados opostos não sejam iguais. Se fizer dois dos lados diferentes, então as outras duas retas não serão mais paralelas. Você pode brincar com isso se quiser. Se os lados opostos são iguais, significa que 4a mais b é igual a 21, "4a + b = 21", porque eles são lados opostos. Então, eles devem ser congruentes da mesma forma. 3a menos 2b deve ser igual a 13 porque eles são lados opostos, "3a - 2b = 13". Agora, temos duas equações lineares com duas variáveis, então isso é realmente um problema de álgebra 1. Vamos ver! Eles querem que os dois problemas sejam resolvidos, vamos ver se conseguimos cancelar o b. Vamos multiplicar esta equação de cima por 2. Vezes 2... Estou fazendo isso para cancelar os "b". Obtém-se 8a mais 2b igual a 42. Fiz isso para que 2b e -2b sejam cancelados. Vamos somar essas duas equações: no lado esquerdo, 3a mais 8a, dá 11a. O b é cancelado, -2b mais 2b se cancelam: é igual a 42 mais 13, igual a 55. Funcionou! Divido os dois lados por 11 e fica "a = 5". Agora, se a é igual a 5, o que é b? Vamos substituir de novo na primeira equação porque pegamos as duas: 4 vezes 5 mais b igual a 21. 20 mais b é igual a 21. Subtraia 20 dos dois lados: b é igual a 1. a é 5, b é 1, alternativa B. Problema 25! Eu acho que tenho que limpar isso aqui agora. Problema 25: "O quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Se os ângulos adjacentes são congruentes, qual afirmação deve ser verdadeira?" Ok, deixa eu desenhar um paralelogramo. Vou fazer isso rapidinho. Um paralelogramo tem todos os lados opostos paralelos. Este é paralelo a este, e este paralelo a este. Mas eles dão outra afirmação, dizem que os ângulos adjacentes são congruentes. Se os ângulos adjacentes são congruentes, estão dizendo que este ângulo é congruente a este. Estão dizendo que, se os ângulos adjacentes são congruentes... Não sei se estão dizendo que é somente um deles ou todos eles, mas é a mesma coisa na verdade. Se aquele ângulo é congruente a este ângulo, alguma coisa interessante tem que acontecer, os dois têm que ter 90 graus. Quero que pense nisso. Deixa eu desenhar a parte de baixo desse paralelogramo. Desenhei este maior... Então, pode se dizer que esta reta aqui é uma transversal. Uma vez que este é um paralelogramo, a gente sabe que esta reta é paralela àquela reta. Essa reta é paralela àquela reta. Sabemos que a gente tem uma transversal entre as retas paralelas: este ângulo é congruente àquele ângulo, eles são correspondentes. Esse ângulo é um suplemento daquele ângulo, eles têm que somar 180 graus. Este ângulo vermelho e este ângulo marrom têm que ser suplementares. Ou, se disséssemos ângulo 1 e ângulo 2... Eles têm que somar 180. A medida do ângulo 1 mais a medida do ângulo 2 tem que ser igual a 180. Mas nos dizem ainda mais, dizem que são congruentes. Esses são ângulos adjacentes, não é? É o ângulo 1 e o ângulo 2, são adjacentes. Se os dois ângulos são congruentes, se suas medidas são iguais uma à outra, os dois têm que ser iguais a 90 graus, os dois devem ser iguais a 90 graus. Se os ângulos adjacentes são congruentes no paralelogramo, esses ângulos medem 90 graus. E, se esses ângulos são de 90 graus, aqueles vão ser de 90 graus pelo mesmo argumento. Mas não estamos lidando somente com um paralelogramo. Eu queria desenhar tudo isso preenchido... Ficou meio brega! É um retângulo. "O quadrilátero ABCD é um quadrado." Poderia ser um quadrado, mas eles não dizem isso. Para ser um quadrado, deveriam dizer que todos os lados são iguais um ao outro. Não é a A. Isso poderia acontecer... Não tem que ser. "ABCD é um losango." Não! Em um losango, todos os lados devem ser iguais. Eles não disseram isso. "ABCD é um retângulo." Claro, porque sabemos que todos os ângulos são de 90 graus! Alternativa C. Até a próxima!