Complemento ortogonal do espaço nulo

RKA1JV - Vamos dizer que eu tenha aqui uma matriz "A". Nós vimos, a alguns vídeos atrás, que o espaço linha da matriz "A" é mesma coisa que o espaço coluna da transposta da matriz "A". A gente vai poder dizer o seguinte: a gente vai poder dizer que isso aqui é o espaço linha da matriz "A". E nós vimos também que o complemento ortogonal disso é igual ao espaço nulo de "A", isso aqui é igual ao espaço nulo da matriz "A". De outra forma, nós podemos dizer que o complemento ortogonal do espaço coluna da matriz transposta, da transposta de "A" vai ser igual ao complemento ortogonal do espaço coluna da matriz "A". E isso aqui vai ser igual ao espaço nulo da matriz transposta de "A". Isso aqui que eu posso dizer. Aqui nós temos o espaço nulo transposto. Nós temos o espaço nulo transposto. É isso que nós temos aqui nesse caso. Agora que é o complemento ortogonal do espaço nulo de "A"? Nos últimos vídeos, nós dissemos que o complemento ortogonal de um complemento ortogonal de um subespaço é o próprio subespaço. Mas, repare aqui em uma coisa. Aqui nós temos que o espaço nulo de "A" é exatamente isso aqui, o espaço nulo de "A" é isso aqui. A gente pode dizer que o complemento ortogonal do espaço nulo de "A" é o complemento ortogonal disso aqui, já que isso aqui é o espaço nulo de "A". Então, isso aqui vai ser o complemento ortogonal disso aqui. A gente vai ter aqui complemento ortogonal daquilo ali. Vamos escrever complemento ortogonal do espaço coluna da matriz "A" transposta. É isso que a gente vai ter aqui. Utilizando essa propriedade aqui, que é exatamente o que nós temos aqui, nós vamos poder dizer que isso aqui é o espaço linha de "A". Ou espaço coluna da matriz "A" transposta. Portanto, o complemento ortogonal do espaço linha é o espaço nulo, e o complemento ortogonal do espaço nulo é o espaço linha. E agora, eu te pergunto, qual é o complemento ortogonal do espaço nulo da matriz "A" transposta? O complemento ortogonal disso aqui. O espaço nulo da matriz "A" transposta é igual a isso aqui, então, isso aqui vai ser igual ao o ortogonal disso aqui. Complemento ortogonal do espaço coluna da matriz "A", vai ser isso aqui. Portanto, por essa propriedade que nós vimos no último vídeo, isso aqui é o espaço coluna da matriz "A". Aqui, nós acabamos de ver que existe uma certa simetria, que o complemento ortogonal do espaço linha de "A" é igual ao espaço nulo de "A". Da mesma forma, nós vimos que o espaço linha de "A" é igual ao complemento ortogonal do espaço nulo de "A". Aqui em cima, nós vimos, também, algo semelhante a isso. Nós vimos que o complemento ortogonal dp espaço coluna da matriz "A" é igual ao espaço nulo da matriz "A" transposta. Por sua vez, o espaço nulo da matriz "A" transposta, na verdade, o complemento ortogonal do espaço nulo da matriz "A" transposta é igual ao espaço coluna de "A". O espaço coluna de "A" é igual ao complemento ortogonal do espaço nulo da matriz "A" transposta. Só foi possível chegar a essas conclusões porque no vídeo passado, nós conseguimos fazer isso aqui. Nós conseguimos mostrar que o complemento ortogonal do complemento ortogonal de um subespaço é igual ao próprio subespaço. Eu espero que vocês tenham gostado deste vídeo. E até o próximo vídeo!