Complemento ortogonal do complemento ortogonal

RKA4JL - Vamos dizer que nós tenhamos um subespaço v e que subespaço esteja dentro do rn. Então, por exemplo, aqui é o rn e aqui eu vou fazer o nosso subespaço v. Nós sabemos que o conjunto complemento ortogonal de v é dado pelo seguinte: pelos vetores do tipo x pertencentes a rn de forma que x vezes v seja igual a zero, isso aqui para todo... "Para todo" quem? Para todo v pertencente a v. Portanto nosso subespaço v ortogonal será formado por todos os vetores que forem ortogonais a todos os vetores que estão aqui dentro de v. E nós vimos em outros vídeos que só existia um elemento que pertencia aos dois conjuntos. Então deixe-me desenhar meu outro conjunto. Então vamos dizer que meu conjunto é esse aqui, que é o conjunto v ortogonal. Agora vamos pensar que nós quiséssemos o conjunto complemento ortogonal do complemento ortogonal. Então nós teremos isso aqui: o complemento ortogonal do complemento ortogonal. Que conjunto seria esse? Esse conjunto aqui seria o conjunto formado por todos os vetores x pertencentes ao rn de forma que esse x vezes (vamos colocar aqui um w) x vezes w fosse igual a zero para todo... É a mesma idéia de cima, então para todo w pertencente ao meu conjunto v ortogonal. Então nós podemos chegar à seguinte conclusão: olhando para esse conjunto aqui, o conjunto v, nós sabemos que todos os vetores que estão dentro desse conjunto com certeza são ortogonais aos vetores que estão aqui. Portanto esses valores aqui, esses vetores que estão dentro de v, pertencem a esse conjunto do complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Mas será que eles são únicos, ou seja, será que não pode existir algum conjunto aqui por fora, assim, que eu possa ter mais elementos e que esses elementos no conjunto verde não englobem tudo? Então que eu tenha outros elementos aqui? Será que não existem outros os elementos aqui de forma que esses elementos não estejam no conjunto verde pois o conjunto verde, nosso conjunto v, é apenas um subconjunto desse conjunto azul aqui, e que esse conjunto aqui englobe mais algumas alternativas para que eu tenha dentro do meu subconjunto, complemento ortogonal de v, outros vetores que satisfaçam essa condição? Então será que essa área que existe, será que essa área que acontece? Ou será que os únicos elementos que são ortogonais aqui ao complemento ortogonal de v são exatamente os membros que estão dentro de v? Vamos pensar um pouco melhor sobre isso. Então vamos pensar nesse conjunto, que é o complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Vamos dizer que a gente tenha um vetor x que pertença a esse conjunto, que pertença ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Eu sei que o complemento ortogonal do complemento ortogonal de v também é um subespaço de rn. A gente viu no último vídeo que se tenho um vetor x que pertence ao rn, ele pode ser escrito da seguinte maneira: eu pego aqui o vetor v mais um vetor w onde esse vetor v pertence ao meu subespaço v. E o vetor w pertence ao complemento ortogonal de v, correto? Então esses membros aqui do complemento ortogonal do complemento ortogonal de v poderiam estar aqui assim, aqui assim, aqui ou aqui dentro, que eu sei que tem alguns aqui, na verdade todos aqui dentro são o complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Eu só não sei se tudo isso aqui é o complemento do complemento ortogonal de v ou se tem mais alguma coisa além disso. O que eu sei é que qualquer vetor dentro do rn (e x é um vetor dentro do rn) pode ser escrito com um vetor daqui mais um vetor daqui de dentro, do complemento ortogonal de v. Isso eu sei pois a gente viu no vídeo passado. Agora eu quero saber o que acontece se eu fizer isso aqui, se eu fizer x vezes w. O que será que vai dar isso? Peguei x e w, que é o cara que pertence ao complemento ortogonal de v. O que vai dar isso aqui? Isso aqui é simples porque qualquer elemento x pertencente ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v é ortogonal ao complemento ortogonal de v, ou seja, qualquer membro que pertença ao complemento ortogonal de v. Então w é o membro que pertence ao complemento ortogonal de v. Então x vezes w tem que dar quanto? Tem que dar zero. De que outra maneira eu posso escrever isso aqui? Eu posso escrever isso assim: v mais w vezes w. Por que isso? Porque x é igual a v mais w, então x vezes w é v mais w, que é x, vezes w, que é w mesmo. E isso vai ser o quê? Isso vai ser v vezes w mais w vezes w. Isso aqui é só aplicar a distributiva. Então a gente vai ter o quê? Isso aqui vai ser igual a zero. Por quê? Porque v pertence ao meu subespaço v e w pertence ao meu complemento ortogonal do subespaço v, v ortogonal. Então isso aqui vai dar zero por definição, já que v vezes w sempre dá zero. Então isso aqui vai dar o quê? Vai dar a magnitude de w. A partir desse momento nós temos que w², a magnitude w, tem que ser igual a zero. Isso implica que w obrigatoriamente tem que ser zero. Logo, nesse caso aqui, o que está acontecendo? w tem que ser zero, então o nosso x vai ser o quê? Nosso x vai acabar sendo zero porque w já é zero, então aqui a gente vai ter o seguinte: nós temos que x é igual a v, já que aqui w é zero, v mais zero dá v, então isso aqui quer dizer o quê? Isso quer dizer o seguinte: a gente já sabe que v pertence a v, está escrito aqui em cima. Como x é igual a v, então se v pertence ao meu subespaço v e x é igual a v, então a gente pode dizer que x também pertence ao meu subespaço v. É isso que eu posso dizer, uma vez que x e v são vetores iguais. Então nós acabamos por mostrar que se um vetor, por exemplo x, pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de um subespaço, então esse vetor aqui também pertence a esse subespaço. Logo, nós mostramos que não existe ninguém aqui fora, ninguém nessa faixa azul aqui. Todo mundo que pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal do nosso subespaço v tem que estar aqui dentro, dentro do nosso subespaço v. Todo mundo tem que estar aqui dentro, ninguém pode estar fora desse subespaço. Portanto não há ninguém aqui fora. Então isso aqui é uma região que não existe, não há ninguém aqui. Então todo mundo está lá dentro do nosso conjunto v. Dessa forma aqui nós conseguimos aprender isso. Agora deixe-me fazer isso aqui de uma maneira talvez um pouco mais formal. Deixe-me escrever aqui, por exemplo, que v pertence ao meu subespaço v. Então o vetor v pertence ao subespaço v. Deixe-me fazer um desenho aqui embaixo. Deixe-me puxar para cá e vamos lá. Então deixe-me desenhar meu conjunto rn novamente e aqui eu vou desenhar meu subespaço v ortogonal. Então aqui eu tenho v ortogonal. Logo aqui vou desenhar o meu outro subespaço, que é o complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Então vamos dizer que eu tenha aqui o vetor w... Na verdade deixe-me apagar isso aqui e fazer assim. Vamos dizer que eu tenha um vetor v e que esse vetor v seja igual a quem? Que ele seja igual ao meu vetor w mais meu vetor x onde w pertence ao complemento ortogonal de v e x pertence a quem? Ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Então x pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Nesse caso aqui a gente poderia dizer que esse é o nosso conjunto s e que esse aqui é o complemento ortogonal de s. E nós aprendemos o seguinte: nós aprendemos que se temos um vetor aqui dentro do rn, a gente pode pegar um vetor pertencente ao complemento ortogonal de v, que no caso é este aqui, e o vetor pertencente a v, e que esses dois vetores vão formar exatamente esse outro vetor aqui que está no rn. Agora pergunto a vocês: o que vai acontecer se eu fizer v vezes w? Eu vou usar o mesmo argumento que eu já usei anteriormente. Nós vimos que se temos um vetor aqui pertencente a v e o vetor w pertence a um complemento ortogonal de v, por definição isso tem que dar zero. Por outra forma isso aqui também é igual a quê? A gente viu que v é igual a w mais x, então isso é w mais x, que é o valor de v, e isso aqui vai multiplicar o vetor w porque é v vezes w. v é w mais x, é isso aqui, e aqui vezes w. Então isso aqui vai dar w vezes w mais x vezes w. Agora a gente pode ver o que vai dar isso aqui. Lembrando, de novo, aqui nós temos x vezes w. x pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v e w pertence ao complemento ortogonal de v. x pertence ao complemento ortogonal do subespaço onde está situado o vetor w, então isso aqui tem que dar obrigatoriamente zero, e isso vai acabar sendo o quê? Vai acabar sendo w vezes w, que é w². Então isso aqui vai dar o quê? Nós devemos lembrar que isso aqui ao quadrado tem que ser igual a quem? Tem que ser igual a zero. Logo w tem que ser igual a zero. Continuando, nós vamos ter aqui que v é igual a w mais x, só que w é zero, então vai dar apenas x. Então v é igual a x. Então o vetor v é igual ao vetor x. Logo, vou poder dizer que se v, o vetor v, pertence ao meu subespaço v e nós vimos aqui que w é igual a zero, o que vai acontecer? Nós poderemos dizer que se v pertence ao subespaço v, então v vai pertencer ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v porque v é igual a x. Vamos escrever isso aqui. Então v vai pertencer ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v. Isso nós até provamos aqui em cima. Se olhar aqui, está bem aqui em cima. Se x pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v, então x pertence a v. Então isso aqui está provado aqui em cima. Na verdade aqui está provada a ideia contrária disso. Da mesma forma que nós diremos que se x pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v, então (vamos escrever aqui) x pertence a v. Portanto essas duas afirmações aqui são equivalentes. Se o vetor v pertence ao subespaço v, então o vetor v pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal do subespaço v. Já se x pertence ao complemento ortogonal do complemento ortogonal de v, então x, o vetor x, vai pertencer ao subespaço v. E aqui a gente vai ver o seguinte: a gente vai ver que isso aqui se sobrepõe, então isso aqui é a mesma coisa que o subespaço v, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de v é a mesma coisa que o subespaço v. Esses dois conjuntos aqui se sobrepõem e o único ponto de interseção que ele tem com complemento ortogonal de v é no nosso vetor nulo, que a gente já viu em outros vídeos. Eu espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo!