Introdução às projeções

RKA8JV - Neste vídeo, nós vamos ver o conceito de projeção de um vetor em uma direção determinada. Para tanto, nós vamos usar, é claro, um sistema cartesiano, o sistema em duas dimensões. E claro, vamos desenhar uma linha, vamos desenhar essa direção como sendo o esboço de uma linha reta. Imagine que se prolongue infinitamente para ambos os lados, e passa pela origem. É interessante definir essa linha matematicamente. Para tanto, nós vamos aqui começar com a definição em um vetor "v", digamos que ele é conhecido. O vetor em duas dimensões, mas você pode pensar em quantas dimensões quiser, ok? Agora, com o vetor "v", vamos definir a linha, vamos chamá-la de linha "L", e, matematicamente, definida como sendo um conjunto de pontos, que para isso tem o escalar "c" vezes o vetor "v". Escalar é um número, então, vamos dizer tal que "c" seja um número, pertencente ao conjunto dos números reais. Muito bem. Se "c" for um número positivo, o vetor "v" se prolonga na direção indicada quantas vezes necessário. Se negativo, na direção oposta, se "c" for menor que 1, a linha "L" será menor que o vetor "v", e tanto em um sentido como outro. E agora, então, vamos definir um outro vetor, um vetor "x", não paralelo a "v", muito bem. Eu vou chamá-lo de vetor "x". Muito bem, aqui está. Digamos que eu quero saber a projeção desse vetor, é o que este vídeo vai contar, na linha "v", na linha definida, na linha "L" definida pelo vetor "v". Projeção de "x". Então, o que vem a ser isso? Eu vou mostrar um conceito intuitivo da projeção. Imagine que aqui nós temos raios de luz que incidem na direção perpendicular à linha "L", ok? São 90° com a linha "L", então, o que vai acontecer? Digamos que o vetor "x" tem uma sombra que segue esta linha, 90° então, perpendicular à linha "L". Vamos lá, vou mostrar essa sombra de "x", vai estar aqui com uma linha também vermelha. Esta é a sombra de "x". Esta sombra, na verdade, podemos dizer, vamos definir aqui, dar um nome para ela. É a projeção de "x" na linha "L". Muito bem. Então, isso para a gente fazer uma definição matemática então, da nossa projeção. Projeção de "x" na linha "L", então, intuitivamente, você pode pensar como sendo uma sombra. Vetores na verdade não têm sombra, mas a gente pode pensar assim pelo menos para começar a conversar. Sombra do vetor "x" projetada, então, na nossa linha, definida como sendo "L". Ok, vamos lá então. É claro, um conceito intuitivo, nós temos que fazer uma definição matemática que vai ser usada aí em vários trabalhos nossos aqui na geometria analítica, na álgebra linear, em física. Muitas vezes nós temos uma força na direção de "L", mas ela é exercida na direção do vetor "x". Então, como é que nós temos que trabalhar isso? Vamos pensar aí. Matematicamente, eu vou definir um outro vetor segundo a linha da sombra, isso vai nos ajudar bastante. Este vetor, veja só, pense bem. A soma vetorial da projeção com o vetor verde vai resultar no vetor "x", de modo, então, que o vetor verde, matematicamente, nós colocamos que este vetor será definido como "x", que é o resultado da soma vetorial, menos a projeção, que está definido em vermelho ali embaixo, a projeção do vetor "x" na linha "L". Assim será definido o nosso vetor verde aqui, que vai ser bastante necessário na nossa definição matemática. Vamos escrever, é sempre importante. "x" menos a projeção de "x" na linha "L", então, é o nosso vetorzinho. Como é que vamos fazer? Ele é um vetor, não é verdade? Então, definimos ele como um vetor. Repito, para a gente conseguir trabalhar matematicamente, vetor ortogonal, eu quero que você se acostume com esse nome. O que significa ortogonal? Podemos pensar aí, ele é perpendicular à linha "L", é o ângulo de 90°, ele é perpendicular à linha "L" e a linha da projeção, projeção de "x", que está lá definido em vermelho. Então, "x" menos a projeção de "x" é um vetor ortogonal a essa projeção. Isso vai permitir que a gente trabalhe, faça uma definição formal, matematicamente formal, da nossa projeção, não ficar só pensando em sombra. Para isso, vamos usar o produto escalar. Vamos escrever aqui embaixo, veja só. "x" menos a projeção de "x", pense bem. Essa projeção, em vez de projeção, nós vamos escrever agora "c", o escalar "c", vezes o vetor "v", e vimos que assim nós definimos aquela linha, a linha "L", que é a multiplicação de "c" por "v". "x" menos a projeção, ok? A gente representou por "cv", escalar. Como são perpendiculares, então, escalar ao vetor "v". Então temos o vetor verde perpendicular a "v", fazemos o produto escalar, não confunda com produto por escalar, ok? Ela vai ter resultado zero, porque são vetores perpendiculares, vetores ortogonais. Então, o produto escalar sempre resulta zero como temos vetores ortogonais, vetores perpendiculares. Esse produto escalar tem propriedade distributiva, então posso fazer "x" escalar "v" menos "cv", escalar "v", "cv" é um produto por escalar, aqui temos um produto escalar mesmo. Resultado, igual a zero. Simplesmente, eu apliquei a propriedade distributiva. Vamos lá. "x" escalar "v", eu vou agora somar "c" escalar "v" em ambos os lados, então, fica igual "c" escalar "v", "cv", perdão, escalar "v", igual a "x" escalar "v". Muito bem. Nós queremos isolar a letra "c", que isso é importante para a gente definir a projeção que nós queremos, repito, a definição matemática da projeção. Basta determinar o valor de "c". Então, temos lá, dividindo os dois lados por "v" escalar "v", temos "x" escalar "v", dividimos ambos os lados por "v" escalar "v". Está aqui, dividido por "v" escalar "v". Muito bem. Com isso, nós conseguimos isolar o valor de "c", o valor real do de escalar "c", que é fundamental para que nós possamos definir a projeção que nós queremos, ok? Conhecendo, repito, o vetor "v" e o vetor "x". Então, podemos sistematizar, veja só. Vamos ter a nossa projeção, e, deixa eu ver aqui, onde eu que vou escrever. Aqui está, projeção, é o que nós queríamos, a projeção de "x" na direção de "L" é igual, veja só, sabíamos que é igual ao escalar "c" vezes, multiplicado então, o produto por escalar. Opa, cor verde mesmo vai ser melhor. Escalar "c" multiplicado por "v", pelo vetor "v". Então, aqui nós definimos a nossa projeção. Só que agora nós temos a fórmula, então temos aí um jeito matemático de calcular o valor real do vetor "c", ok? Valor numérico ou então, valor escalar. "x" escalar "v" dividido por "v" escalar "v", esse é o valor de "c", que multiplica o vetor "v", que é conhecido. Isso pode assustar um pouquinho, mas agora eu vou mostrar um exemplo numérico. Veja, a gente conhece o vetor "v", conhece o vetor "x", e claro, com um exemplo numérico vai ficar um pouco mais fácil de você enxergar, entender todas essas letrinhas que estão por aí. Então, digamos que a letra "L" será o valor de "c" ainda não sabemos, o vetor "v", como eu disse, é conhecido. Então digamos aí que o vetor "v", veja só, vamos fazer a apresentação coluna, vetor "v" seja dimensão 2 na horizontal, 1 na vertical. E como definido, é importante lembrar, "c" é um número real. Não sabemos ainda que número que é, pode ser quebrado, pode ser grande, pequeno, negativo. Vamos dar uma olhada nisso. Temos também, vamos definir o vetor "x", como eu disse no começo, é um vetor conhecido, ok? Conhecemos "v" e conhecemos "x". Então, vetor "x", aqui claro, representado em duas dimensões, mas veja que, analiticamente, nós podemos trabalhar em quantas dimensões nós precisarmos. Vetor "x", digamos, dimensão 2 na horizontal, 3 na vertical. Este é o nosso vetor "x", e vamos, agora, aplicar o que a gente já sabe para determinar o valor de "c", que aí vai possibilitar que nós tenhamos, matematicamente, a projeção necessária, projeção que nós queremos. Então aqui estão os eixos coordenados mais uma vez, em um sistema cartesiano. Vou dar mais ênfase, é claro, na parte positiva, ok? Os dois vetores têm valores positivos. Então, vamos lá. Vetor "v" é 2 na horizontal, 1 apenas na vertical. Vamos definir, vamos desenhar o vetor "v", então vai ser a definição geométrica de "v", fica mais fácil enxergar assim, não é verdade? Então, este é o nosso vetor "v" de dimensões conhecidas. É este vetor que define a linha que nós queremos usar. Digamos que a gente precisa transportar uma força por esta linha, problema muito comum na Física. Mas só podemos, aqui está o vetor "v" mais enfatizado. Nós só podemos exercer essa força na direção de "x". E "x" tem 3 na vertical, 2 no horizontal, né, já estava definido. Dimensão vertical 3, vamos lá. Aí vai ser extremidade do vetor "x", começa também na origem. Aqui está o nosso vetor "x", vetor no qual teremos que, por exemplo, exercer uma força, como acontece muito na Física. Muito bem, eu quero saber a projeção de "x", saber matematicamente a projeção nesta linha definida pelo vetor "v". Muito bem, não posso pensar agora em conceito simplesmente de sombra. Vamos fazer as contas usando a fórmula que a gente desenvolveu. Então, a projeção de "x" na linha "L", na linha do vetor "v", ou na nossa linha de ação por assim dizer, a projeção de "x" será, vamos usar nossa fórmula aqui. Dá um pouco de trabalho, mas é relativamente fácil como você vai ver. Projeção de "x", então será divisão. Vetor "x", vamos começar aí pela denominação coluna do vetor "x". Vetor "x" tem dimensão [2, 3]. Está aqui o vetor "x", escalar, produto escalar. Vetor "v" agora, cujo as dimensões você já sabe, são 2 na horizontal, 1 vertical. Então "x" escalar "v" sobre "v" escalar "v". Veja que é um produto escalar, repito. Então, 2 e 1, 2 na horizontal, 1 na vertical, mais uma vez o vetor "v", [2, 1]. Ok, isso será o valor de "c". Agora, este resultado vai multiplicar, não podemos esquecer, já ia esquecendo aqui do vetor "v". Vetor "v" representado então, analiticamente, suas coordenadas horizontal 2, vertical 1, uma unidade. Muito bem. Então agora, como fazer essa conta, veja só. É bastante simples, veja só. Fazemos 2 vezes 2, dá 4, 3 vezes 1, dá 3. 4 + 3, 2 vezes 2 = 4, 3 vezes 1 = 3, 4 + 3 = 7. Muito bem, 2 vezes 2 = 4, 1 vezes 1 = 1, 4 mais 1, igual a 5. 7/5 que multiplica, então, o vetor "v" com suas coordenadas [2, 1]. Vamos fazer isso na próxima etapa. Vou ter que colocar aqui mais abaixo. Isso aqui vai resultar, vejamos, é bastante simples. Vamos trabalhar com fração, a princípio. 7/5 vezes 2 na horizontal, teremos 14/5. E 7/5 vezes 1 é pura e simplesmente 7/5. Muito bem. Temos então os valores fracionários das componentes, mas isso fica difícil aqui de a gente pensar para representar graficamente, então, vamos usar os valores decimais. 14/5 resulta em 2,8 e 7/5 resulta em 1,4. Muito importante treinar a multiplicação de cabeça e por 5 é bastante, multiplicação ou divisão. 2,8, está aqui o 3, o 2,8 é um pouquinho antes. 1,4, temos 1,5, 1,4 é um pouco mais embaixo. Podemos aqui fazer um esboço das coordenadas, então, da extremidade do vetor que será a projeção de "x", que gente estava falando, a sombra de "x". Vamos desenhar. Espere aí, vou desenhar a cor branca para ficar mais evidente. Então aqui temos a projeção de "x" na linha "L", linha definida pelo vetor "v". Vamos lá, importante escrever "projeção de x", projeção do vetor "x" na linha "L". Está então, matematicamente definida e graficamente para ficar bem entendido. Lembrando que pode ser pensado para quaisquer dimensões.