Exemplos de transformação linear: escala e reflexão

RKA1JV - Olá, pessoal. Prontos para mais um vídeo? A gente tem falado bastante aqui sobre transformações lineares. O que eu quero fazer neste, e até nos próximos vídeos, é ensinar como criar algumas transformações lineares para que você possa fazer, essencialmente, o que você quiser com seus vetores. Vamos lá, vamos começar. Primeiramente, eu sei que, se eu tenho uma transformação "T" que associa vetores do Rⁿ com vetores do Rᵐ, eu posso representar o que essa transformação faz com o vetor "x". Através de um produto de uma matriz por esse vetor "x". E claro que as dimensões dessa matriz "A" é é "m" por "n", é matriz "m" por "n". E a gente sabe que a gente pode construir essa matriz "A" a partir da nossa matriz identidade de dimensão "n". Para quem não lembra, a matriz de identidade é aquela matriz quadrada "n" por "n". Onde a primeira coluna é feita com o vetor com 1 no primeiro elemento, e todos os outros elementos são zero. Já na segunda coluna, o 1 é o segundo elemento e o restante é tudo zero. Na terceira coluna, 1 é o terceiro elemento, o resto é tudo zero. Então, no final, a gente acaba tendo uma matriz onde a diagonal principal é constituída por "1" e o restante da matriz são só zeros. Certo, pessoal? Só para continuar aqui o que a gente sabe da matriz identidade, os vetores coluna nessa matriz são o que a gente chama de base canônica do Rⁿ. Tenho que esse vetor com "1" na primeira posição, a gente chama de e₁, o cara que está com "1" na segunda posição, a gente chama de e₂ e assim até o eⁿ. Que é o rapaz que tem "1" na enésima posição. Voltando aqui o nosso raciocínio, a gente tinha visto que o "A" podia ser escrito a partir da identidade. Como? Eu pego a transformação e aplico em todos os vetores coluna da minha matriz identidade. Portanto, a minha "A" é constituído dessa forma. Pego a transformação e aplico em e₁, pego a transformação e aplico em e₂, e assim vai até que eu aplico a transformação em todo mundo. Cheguei aqui no eₙ. E conclui a minha matriz "A" e isso é um resultado muito interessante, muito importante. Porque aplicar a transformação nesses vetores aqui compostos por um número "1" e o resto tudo zero é uma coisa muito simples de fazer. Uma continha bem fácil. Para mostrar isso, vamos parar aqui um pouco com a nossa revisão, afinal, tudo isso aqui por enquanto foi revisão. E vamos colocar a mão na massa. Vamos ver essas transformações sendo construídas na prática. Para construir esses exemplos, vou trabalhar aqui com o nosso R². E tudo que a gente utilizar aqui pode ser expandido para o Rⁿ. Beleza? E o conjuntinho que eu vou pegar aqui para fazer o nosso exemplo vai ser o conjunto dos pontos de um triângulo. Conjuntos dos pontos de triângulo formados pelo ponto [3, 2], então, aqui o ponto [3, 2]. Vamos anotar, [3, 2] é o primeiro dos pontos. O segundo ponto segundo que tal [-3, 2], o último ponto, ponto não, na verdade são vetores de posição, vai ser o [3, -2]. [3, -2] é o último dos meus pontinhos. Já que falei aqui "vetores de posição", o que são vetores de posição mesmo? São vetores com a origem no zero, zero, e o finalzinho na posição determinada por um ponto. Que, no caso aqui, esse aqui é o vetor de posição, o verde representa. Esse rosinha é representado por esse vetor, e o amarelinho por esse. Eles chamam vetores de posição porque a gente está mais preocupado mesmo é com esse pontinho descrito pela posição final do vetor. Agora, vou pegar os pontos que formam os segmentos que conectam esses pontinhos aqui. E, por último, esse aqui. Como a gente viu em um dos vídeos anteriores, aplicar a transformação nesse conjuntinho é basicamente aplicar a transformação nos vértices do triângulo. E depois conectá-los na mesma ordem. Então, vamos representar aqui neste outro plano cartesiano o que vai ser a nossa transformação "T". Ok, agora vamos criar a nossa transformação, mas, para isso, primeiro eu tenho que saber o que eu quero fazer. Vamos dizer que eu queira refletir em relação ao eixo "y". Vou escrever até aqui para a gente não esquecer. Refletir em relação ao "y". Essencialmente, o que eu quero fazer aqui é dar uma viradinha nele. É como, bom, se eu desenhar acho que fica melhor para você entender. Se eu refletir em relação ao eixo "y", ele vai meio que dar uma viradinha, vai ser como se fosse um reflexo no espelho. E vai ficar mais ou menos assim. No final, digamos que eu queira também dar uma esticada nele. Vamos colocar aqui: esticar na direção "y" por duas vezes. Esticar o dobro na direção "y". Então, vou deixar o dobro maior para cá, para cá. Novamente, primeiro, eu vou dar aquela viradinha, vou colocar aqui que é 1, esse aqui foi o primeiro passo. Depois, eu quero dar uma alongada, dar uma esticada na direção "y", deixando duas vezes mais alto. Duas vezes maior. Vai ficar uma coisa mais ou menos assim, sem necessariamente esticar na direção "x". Esse aqui é o passo 2, o passo 2 vai ficar uma figurinha mais ou menos assim. Mas como eu faço isso? Antes de começar aqui nossas explicações, eu vou definir uma coisinha para a gente. A gente sempre chamava o vetor de x₁, x₂. dessa vez eu vou chamá-lo com um nome diferente. Vou, em vez de x₁, x₂, eu vou escrever xy. Onde "x" vai ser essa primeira coordenada e "y" essa segunda. Porque aqui embaixo, vou chamar essa retinha de reta "x" e essa reta de "y". Como a gente tem o costume de fazer quando a gente está na R². Para a gente não se confundir. Vamos continuar, vamos tentar ver o que acontece com as nossas coordenadas quando a gente reflete pontos em relação ao eixo "y". Começando por este rapaz aqui. Esse rapaz aqui que é o [-3, 2], quando eu reflito em relação ao eixo "y", ele vem parar aqui. Veja aqui a coordenada "y" dele não muda, continua sendo 2, já a coordenada "x" troca o sinal, o que era -3 virou 3. Quando eu passo ele daqui para cá, ou seja, ele vem para esse pontinho aqui, troca-se o sinal do "x" e o "y' continua igual. A mesma coisa quando eu passo esse ponto para cá, ou seja, ele vem para esse rapaz aqui. O sinal do "x" troca e a coordenada "y" continua igual. Portanto, esse último pontinho aqui, que é o [-3, -2], quando eu fizer aqui a reflexão, ele acaba virando um pontinho [-3,-2]. Troquei apenas o sinal da coordenada "x", o sinal da coordenada "y" permaneceu o mesmo. Vamos anotar aqui para não esquecer. Refletir em relação ao eixo "y" vai ser nada mais, nada menos, vai ser multiplicar por -1 a minha coordenada "x". Agora o que é o segundo passo aqui? O segundo passo é esticar, na direção "y", por duas vezes, o que isso significa, pelo amor de Deus? É o seguinte: se eu tenho aqui uma altura qualquer, depois que eu fizer essa transformação, eu quero que fique o dobro da altura que tinha antes. Portanto, digamos que eu esteja aplicando primeiro esse segundo passo. Esse vetor aqui que é o [3, 2] iria ficar [3, 4], então uma altura duas vezes maior. Então, o que eu vou fazer é multiplicar por 2 a coordenada "y", então, isso aqui, pessoal, vai ser, vamos identificar. Vai ser multiplicar por 2 a coordenada "y". Então, vamos tentar descrever a nossa transformação. O que eu estou fazendo aqui na minha transformação? Estou pegando um vetor xy qualquer, e depois que eu aplico a transformação, eu estou trocando o sinal do vetor "x" e dobrando o valor do vetor "y". Isso aqui seria a nossa transformação. Mas como que eu a escrevo naquela forma matricial, usando matriz? Vou pegar a identidade 2 por 2, isso é simplesmente [1, 0, 0, 1], Agora eu vou aplicar transformação nessas duas colunas, então, a minha matriz em "A" aqui que vai ser a transformação aplicada no vetor [1, 0] e a transformação aplicada no vetor [0, 1]. Aqui vai ser a nossa matriz "A". Vamos lá, vamos fazer as transformações nas colunas. Um pouco de espaço vai ser bom, vai ser útil. E o que vai ser nossa matriz "A"? Vou transformar [1, 0], pego a coordenada "x" e troco o sinal, então vai ficar -1, pego a coordenada da "y" e dobro, 2 vezes zero é zero. Novamente aqui, agora, para essa coluna, coluna [0, 1], coordenada "x", troca o sinal, menos zero e zero é a mesma coisa. E a coordenada "y", eu dobro, então, vai ficar 2 vezes 1, que dá 2. Maravilha, essa aqui vai ser a nossa matriz da transformação. Em outras palavras, podemos escrever essa transformação da seguinte maneira: transformando o vetor "x" e "y" é a mesma coisa que multiplicar a matriz [-1, 0, 0, 2] pela matriz [x, y]. Que representa o nosso vetor. Agora, vamos testar a transformação para ver se está funcionando mesmo. E vamos usar esse vetor [-3, 2] para fazer nosso teste. Vou pegar a matriz [-1, 0, 0, 2] e vou multiplicar pelo meu vetor [-3, 2]. Dá para fazer isso direto, multiplicar é multiplicar linha por coluna, então fica -1 vezes -3, dá 3, somado com 2 vezes zero, ou seja, vai dar o meu 3 aqui. Agora, vou pegar essa linha vezes essa coluna, zero vezes 3, zero somado com 2 vezes 2, isso dá 4. Portanto, esse rapazinho aqui depois da nossa transformação vai para o [3, 4] 3 direção "x", 4 direção "y", é este pontinho aqui. Vamos dar uma olhada nesse pontinho aqui, vou ganhar um pouquinho de espaço aqui embaixo. Minha matriz [-1, 0, 0, 2] multiplicada pelo vetor (3,2). Fazendo esse produto, tem essa linha vezes essa coluna, fica -3, mais zero dá -3. E essa linha debaixo vezes essa coluna vai ficar a zero mais 4, então, [-3, 4] é o resultado que é representado -3 na direção "x", e 4 na direção "y", é esse ponto. E, por último, esse nosso pontinho aqui. Vamos pegar nossa matriz [-1, 0, 0, 2] multiplicar pelo nosso vetor que é [3, -2]. Quando eu faço a continha, -1 vezes 3, dá -3, zero vezes -2 dá zero, -3 mais zero dá -3. Agora essa linha vezes essa coluna. zero vezes 3, zero. 2 vezes -2, -4, somando tudo, eu tenho -4. Portanto, essa é a posição do nosso novo pontinho, plotando aqui, -3 direção "x", -4 na direção do "y", vai dar esse rapaz aqui. Portanto, esse pontinho foi associado a esse, esse pontinho virou esse outro aqui. E esse último virou esse rapaz. A gente já viu que, se eu aplicar essa transformação nesse conjunto de pontos que liga os três vértices, no final contas, vai chegar no conjunto de ponto que vai ligar esses três vértices. Então, a imagem desse conjuntinho aqui que especifica esse triângulo vai acabar sendo esse triângulo aqui. É a coisa mais fofa do mundo. Ele fez tudo o que a gente queria que ele fizesse. A gente pegou foi lá e refletiu no eixo "y", deu uma virada. Depois, a gente foi deu uma esticada na direção "y", dobrando esse tamanho. E fez tudo o que a gente queria usando somente essa matriz de transformação. Agora, vou fechar uma informação útil para você. Sempre que a gente tivesse as transformações que simplesmente fazem reflexões em relação ao eixo "y", ao eixo "x" ou que a gente estica ou encolhe nessas direções "x" e "y", a matriz de transformação dessas transformações sempre vai ser matriz diagonal. Olha só, isso aqui é uma matriz diagonal. E o que é uma matriz diagonal? É uma matriz que tem elementos diferentes de zero somente na diagonal principal. Veja que o resto é tudo zero e isso faz bastante sentido porque, se a gente for ver aqui, esse rapaz está falando que está acontecendo no eixo "x". E esse rapaz fala o que vai acontecer na coordenada "y". Se eu tivesse uma 3 por 3, seria um rapaz aqui que falaria o que ia acontecer na coordenada "z", na coordenada da terceira dimensão. Aqui, o rapaz da coordenada da quarta dimensão. A gente pode desenvolver isso para uma dimensão "n" qualquer. O objetivo principal desse vídeo aqui foi introduzir a você toda essa arte de criar matrizes de transformação para que elas façam o que você quiser. E dá para perceber que, se você for trabalhar no ramo de computação gráfica ou de programação, isso vai ser muito útil para utilizar quando você quer deformar figuras, ou trabalhar com jogos que usam várias dimensões. Ok, pessoal? Espero que vocês tenham gostado, e até o próximo vídeo!