Espaço nulo e base de espaço coluna

RKA1JV - O que eu vou fazer neste vídeo, e provavelmente ao longo de vários outros vídeos é integrar tudo o que sabemos sobre matrizes, espaços nulos, espaços coluna e independência linear. Eu tenho aqui uma matriz, essa aqui é minha matriz "A" e eu acho que um ponto bom para a gente começar é descobrir o seu espaço coluna e seu espaço nulo. O espaço coluna de "A" é realmente muito fácil, o espaço coluna, ou que a gente também pode chamar de espaço expandido, espaço gerado, vai ser um espaço gerado pelos vetores coluna da matriz "A". No caso do nosso exemplo, o primeiro vetor coluna vai ser [1, 2, 3], depois a gente tem outro vetor coluna, [1, 1, 4]. Outro vetor coluna que a gente tem [1, 4, 1] e finalmente o quarto e último vetor coluna vai ser o vetor coluna [1, 3, 2]. Esse aqui é o nosso espaço gerado e está feito. É bem simples, muito, muito fácil, muito mais fácil do que encontrar os espaços nulos. Agora isso pode ser ou não satisfatório para você. Existem várias questões em cima disso. Por exemplo, essa é base para o espaço? Esse é um conjunto vetores linearmente independente? Como a gente pode visualizar esse espaço? E eu ainda não respondei nenhuma delas, mas, se alguém te perguntar qual é o espaço da coluna matriz "A", esse é o espaço coluna de "A". Mas, agora, nós já podemos responder a algumas outras perguntas. Se este conjunto de vetores for um conjunto de vetores linearmente independente, então esses vetores seriam uma base para o espaço coluna de "A". Mas nós ainda não sabemos disso, nós não sabemos se eles são linearmente independentes. Mas a gente pode descobrir se eles são linearmente independentes olhando para o espaço nulo de "A". Lembre-se, eles serão linearmente independentes se o espaço nulo de "A" tiver somente o vetor zero. Então, vamos descobrir qual é o espaço nulo de "A"? A gente pode pegar um atalho aqui porque a gente já viu, em vídeos anteriores, que o espaço nulo de "A" é a mesma coisa que o espaço nulo da forma escalonada reduzida da matriz "A". A gente já viu isso, eu mostrei isso quando calculamos o primeiro espaço nulo de um vetor. Porque quando você quiser resolver o espaço nulo de "A", você cria uma matriz aumentada e você coloca essa matriz aumentada na forma reduzida escalonada por linha. Mas os zeros nunca mudam. Então, basicamente, o que você vai fazer é colocar apenas a matriz "A" na forma escalonada reduzida. Deixe-me fazer isso, vamos repetir a linha 1 aqui. A linha 1 vai continuar sendo a mesma, a gente não vai mexer nela. Vai ficar 1, 1, 1, 1. O que nós podemos fazer com a linha 2? A gente quer transformar na forma reduzida escalonada, podemos fazer a linha 2 menos a linha 1. Na verdade, aqui tem que ser zero, então, a gente vai fazer duas vezes a linha 1 menos a linha 2. Se a gente fizer duas vezes a linha 1 menos a linha 2, nessa entrada, a gente vai ter 2 vezes 1, que é 2, menos 2, zero, que é o eu queria. 2 vezes 1, dá 2, 2 menos 1, aqui vai dar 1, 2 vezes 1, dá 2, 2 menos 4, aqui vai ser -2. E essa última entrada dessa segunda linha, 2 vezes 1, dá 2, 2 menos 3, dá -1. O que a gente fez aqui, olha, foi fazer 2 vezes essa primeira linha menos essa linha debaixo. Agora para a terceira linha, o que a gente pode fazer aqui? O que eu vou tentar é diminuir ao máximo o número de elementos negativos aqui nessa linha. O que eu posso fazer é a terceira linha menos 3 vezes a primeira linha. Poderia fazer outras combinações, mas acho que com essa eu vou ter o menor número possível de elementos negativos. Fazendo a terceira linha menos 3 vezes a primeira, 3 menos 3, vezes 1, que dá 3, 3 menos 3, aqui vai dar zero. 4 menos 3 vezes 1, que dá 3. 4 menos 3 dá 1. 1 menos 3 vezes 1 que dá 3, 1 menos 3, dá -2. E a última entrada, 2 menos 3 vezes 1, vai dar -3, 2 menos 3, aqui vai dar -1. Agora, se quisermos obter isso em forma escalonada reduzida por linha, nós vamos ter que atingir, agora, esse elemento aqui e esse aqui. O que nós podemos fazer agora? A linha do número 2, a linha do meio não vai mudar, porque ela já está com as duas entradas que a gente quer. Eu vou continuar na linha do meio com a mesma sem sofrer mudança e 0, 1, -2, -1. E agora vamos ver o que a gente pode fazer nessa primeira linha aqui. A gente pode fazer a linha 1 como sendo a linha 1 menos a linha 2, que dessa forma a gente vai sumir com este número 1 que a gente quer que se torne zero. Vou fazer 1 menos zero, aqui vai dar 1, 1 menos 1 vai dar zero, que é o que eu estava querendo. 1 menos -2 vai se tornar +2, 1 mais 2 vai dar 3, 1 menos -1 vai ficar 1, mais 1 aqui vai dar 2. Agora, vamos ver o que a gente pode fazer nessa terceira linha. Nessa terceira linha, a gente quer que aqui zere. Então, o que eu posso fazer para isso aqui zerar é transformar essa terceira linha como sendo a linha 2 menos a linha 3. Se você perceber, essas duas linhas são iguais. Quando eu subtrair uma da outra, a gente vai ter vários zeros aqui. Olha lá, zero menos zero, vai dar zero, 1 menos 1, aqui vai dar zero, -2 menos -2 dá +2, -2 com +2 aqui vai dar zero e -1 menos -1 vai ficar -1 mais 1, também vai dar zero. E assim que nós temos aqui é nossa forma reduzida escalonada por linha. Isso aqui é a nossa forma escalonada reduzida por linha da matriz "A", bem simples. Agora, a razão para termos feito isso é porque queremos descobrir o espaço nulo de "A". E nós já sabemos que o espaço nulo de "A" é igual ao espaço nulo da forma escalonada reduzida da matriz "A". Então, se essa é a forma escalonada reduzida de "A", vamos descobrir seu espaço nulo. O espaço nulo vai ser o conjunto de todos os vetores do R⁴ porque nós temos quatro colunas aqui. Então, o conjunto de todos os vetores x₁, x₂, x₃ e x₄, o espaço nulo é o conjunto de todos esses vetores que satisfazem a essa equação aqui. Desse lado aqui, nós vamos ter três zeros Vamos ter três zeros porque a gente sabe que essa matriz aqui tem três linhas. Então, o vetor zero estará no R³. Nós vamos descobrir fazendo essa linha vezes essa coluna igualando a esse zero. Essa segunda linha vezes essa coluna igualando zero e essa terceira linha vezes essa coluna igualando, também, a zero. Quero definir isso aqui como vetor linha, porque eu ainda não mostrei o produto entre o vetor linha e o vetor coluna. A gente só fez vetor coluna por vetor coluna, apesar de ter mostrado em vídeos anteriores que a transposta do vetor coluna é o vetor linha. Vamos, agora, escrever nosso sistema aqui. Vamos fazer o seguinte, essa linha por essa coluna igual a essa, esse zero aqui. Eu tenho 1 vezes x₁ que eu sei que é x₁, mais zero vezes x₂, vou escrever aqui zero vezes x₂. Mais 3 vezes x₃, e mais 2 vezes x₄, isso aqui é igual a zero. Para essa segunda linha, vou escrever em amarelo, nós vamos zero vezes x₁, mais 1 vezes x₂, ou seja, mais x₂, menos 2 vezes x₃, e menos 1 uma vez x₄, menos x₄. Estou fazendo esta linha e vou igualar esse zero aqui. Essa última linha não precisa escrever porque ela não me dá informação alguma, não me acrescenta em nada levar esses vários zeros a outros zeros. Vamos ver se nós conseguimos descobrir quem são essas entradas principais, nossas variáveis principais. O que seria isso? O que seria essas estradas principais? Isso aqui é uma entrada principal e isso aqui também é uma entrada principal. As entradas principais são os únicos elementos nulos da matriz depois que a gente faz forma reduzida escalonada dela. Todos os outros elementos são zero nas suas respectivas colunas. E elas vão sempre estar à direita da sua entrada principal que estava acima. Por exemplo, se ela não tem, se a coluna não tem entrada principal, essa coluna não tem, essa coluna não tem. Elas são chamadas de variáveis livres, portanto essa coluna aqui não possui entrada principal. E quando você fizer o produto, essa coluna corresponde a essa variável no nosso sistema de equações. Nós podemos dizer que x₃ é variável livre, x₃ é livre, não podemos definir que x₃ é igual a nada. Da mesma forma, a gente também pode dizer que x₄ é uma variável livre, x₄ também é uma variável que a gente pode definir como variável livre. x₁, x₂ são variáveis dinâmicas, porque as suas colunas correspondentes da nossa forma reduzida escalonada da matriz possuem entradas principais nelas. Vamos ver se nós conseguirmos simplificar um pouco essa equação. A gente já viu isso antes aqui, eu posso descartar, zero vezes x₂, aqui eu também posso descartar, eu vou escrever x₁ como sendo -3 vezes x₃, menos 2 vezes x₄. E o que eu fiz foi apenas subtrair esses dois elementos de ambos os lados da equação. Eu vou escrever x₂ como sendo 2 vezes x₃, mais x₄. Se quisermos escrever nossa solução definida agora? Se eu queria encontrar o espaço nulo da matriz "A" que eu já sei que é igual ao espaço nulo da forma reduzida escalonada da matriz "A" que é igual a todos os vetores. Deixe-me fazer aqui os vetores com uma cor diferente. É a igual a todos esses vetores aqui, x₁, x₂, x₃ e x₄ que são iguais a quê? Só para ficar bem claro, essas são as variáveis livres porque eu posso definir o valor que eu quiser para elas. Posso definir qualquer coisa, agora, essas aqui são chamadas variáveis principais, porque eu vou apenas descobrir o valor delas de acordo com os valores que eu tiver para x₃ e x₄. Quando eu determinar o valor que eu quiser para x₃ e x₄, então eu vou descobrir os valores de x₁ e x₂. x₁ e x₂ devem ser as variáveis principais e essas aqui vão ser as variáveis livres. Eu posso definir, por exemplo, que esse cara aqui seja π, ou que esse cara aqui seja -2, a gente pode definir como a gente quiser. eu vou escrever que x₁ vai ser igual a x₃, vezes um outro vetor, algum outro vetor, mais x₄ vezes algum outro vetor também. Assim, qualquer solução do meu espaço nulo vai ser uma combinação linear desses dois vetores. Podemos descobrir quem são esses dois vetores aqui a partir dessas duas restrições aqui. Deixe-me fazer isso de uma outra cor. Basta a gente olhar e perceber x₁ é igual -3 vezes x₃, menos 2 vezes x₄, então mais x₄ vezes -2. x₂ vai ser igual 2 vezes x₃, mais 1 vez x₄. Mais uma vezes x₄. Como x₃ é uma variável livre, x₃ é igual a x₃. Então, x₃ vai ser igual a x₃, e não vai ter x₄. Não depende do x₄. Vai ser zero vezes x₄, a mesma coisa para o x₄. x₄ também é uma variável livre e uma variável independente. Não depende x₃, então não vai ter x₃ no seu resultado. x₄ vai ser apenas igual a x₄, então, é igual a 1 vezes x₄. E assim nosso espaço nulo é basicamente a combinação linear desses dois vetores aqui. Isso pode ser qualquer número real, x₃ pertence ao conjunto dos números reais e x₄ também é um membro do conjunto dos números reais. Isso aqui pode ser qualquer número real. Assim, o conjunto de todas as soluções válidas para a matriz "A" vezes vetor "x" igual a zero. Deixe-me ver onde vou colocar isso, vou colocar isso aqui. O conjunto de todas as soluções válidas para essa equação aqui, a matriz "A" vezes o vetor "x" igual ao vetor zero, o conjunto válido para isso é o conjunto de todas as combinações lineares destes dois vetores aqui. E o conjunto de todas as combinações lineares formado por esses dois vetores, nós podemos dizer que é igual ao espaço gerado por esses dois vetores. Então, isso é igual ao espaço gerado por esses dois vetores, no caso, -3, 2, 1 e zero. E -2, 1, zero e 1. Agora deixe-me fazer a pergunta. Os vetores colunas de "A" são vetores linearmente independentes? Eles são um conjunto linearmente independente? Vamos escrever isso aqui. Os vetores colunas de "A", 1, 2, 3, vou dar uma olhadinha aqui. Os vetores [1, 2, 3], eu tenho a segunda coluna aqui, [1, 1, 4], deixe-me dar uma olhadinha aqui, [1, 4, 1] e [1, 3, 2]. terceiro vetor [1, 4, 1], [1, 3, 2], e o que eu quero saber é se esses vetores são vetores linearmente independentes. Se são linearmente independentes. Você pode pensar: "O que significa a gente ter algo que é linearmente independente?" Quando eu digo que algo é linearmente independente, isso vai implicar, nós já vimos isso em vídeos anteriores, que a solução para o meu sistema vai ser uma solução única. Digamos que eu tenha a minha equação aqui, onde eu vou ter a matriz "A" vezes o vetor "x" igual a zero. Quer dizer que é uma solução única e a única solução seria dizer que o meu vetor "x" é igual ao vetor zero. Ou outra maneira de dizer isso também, é falar que o espaço nulo dessa minha matriz "A" só tem uma única solução, e essa solução é o zero. Isso também vale para os dois lados. Se eu tiver um espaço nulo da minha matriz "A" sendo zero, eu posso dizer que essa vai ser a solução única. Os vetores que compõem essa minha matriz são vetores linearmente independentes. E, óbvio, que se meu espaço nulo incluir outros vetores, então, eles não serão linearmente independentes. E agora, para a nossa matriz "A", se a gente olhar para essa nossa matriz "A" aqui. Os vetores que a compõem são vetores linearmente independentes? A única solução aqui é zero? O espaço nulo dessa minha matriz "A" contém apenas zero? Não, né? A gente calculou o espaço nulo da nossa matriz "A" e percebeu que o espaço é gerado por esses dois vetores. Esses dois vetores podem até gerar um espaço nulo, basta colocar o x₃ e x₄ valendo zero. Mas não é a única solução. Qualquer outra combinação que esses dois vetores façam vai ser um componente do meu espaço nulo. Ou seja, o meu espaço nulo aqui é enorme, o espaço nulo da matriz "A" contém mais do que apenas o zero. Ele é mais do que apenas o zero. Muito mais do que só apenas o zero. Isso vai implicar que esses vetores, são o conjunto de vetores linearmente dependentes. Então é um conjunto de vetores linearmente dependentes. Eles não contém apenas zero, eles contém mais do que zero. Até contém o zero, mas não só eles. O que significa isso? No comecinho do nosso vídeo, eu perguntei o que seria o espaço coluna de "A". Dissemos que o espaço coluna de "A" seria o espaço gerado pelos vetores colunas da matriz "A". Eu disse que talvez isso não estivesse bem claro, questionei: "Será que isso seria válido como uma base para o espaço coluna "A"? O que é uma base? A base é um conjunto de vetores que geram todo o subespaço. E esses vetores devem ser linearmente independentes. E nós acabamos de mostrar que esses vetores não são linearmente independentes. A gente não pode dizer que isso aqui é uma base para o espaço. Isso aqui não é uma base para o espaço coluna de "A". Não é uma base para o espaço coluna da matriz "A". Vamos ver se nós conseguimos descobrir o que seria uma base para esses vetores coluna aqui. Para fazer isso, eu vou tentar me livrar de alguns vetores que são redundantes. Se eu consegui mostrar, por exemplo, que esse cara aqui pode surgir da combinação linear destes outros dois vetores aqui. Então eu posso me livrar dele, ele não está acrescentando nenhuma informação nova para mim. A mesma coisa digo para esse cara aqui. Então, vamos ver se eu consigo resolver. Vamos ver se gente consegue resolver esse quebra-cabeça aqui. O que eu tenho aqui? Nós já sabemos, vamos escrever aqui o que a gente já tem. A gente já sabe que x₁ vezes o vetor [1, 2, 3] mais x₂ vezes o vetor [1, 1, 4], mais x₃ vezes o vetor [1, 4, 1], mais x₄ vezes o vetor [1, 3, 2], isso aqui tudo tem que ser igual a zero. A gente sabe que isso deve ser igual a zero. Vamos ver se eu consigo resolver isso de modo que eu represente os vetores que estão associados a variáveis livres utilizando outros vetores. Deixe-me ver se eu consigo fazer isso. Na verdade, você vai perceber que isso aqui é uma coisa bem simples. Eu vou escrever isso. Antes de eu escrever isso, eu vou colocar o x₃ valendo zero. Eu posso fazer isso já que o x₃ é uma variável livre, eu posso escrever x₃ sendo o que eu quiser. Se eu vou definir x₃ como sendo igual a zero, o que eu vou ter aqui? Nós vamos ter aqui x₁ vezes o vetor [1, 2, 3], mais x₂ vezes o vetor, [1, 1, 4], vai ser igual agora, eu vou diminuir isso aqui de ambos os lados. Vou diminuir x₄ dos dois lados, então, vai ficar, o vetor x₃ vai sumir, porque estou considerando que ele vai ser zero. Vai zerar essa parte aqui. Eu vou diminuir essa parte dos dois lados, eu vou ter menos x₄ vezes [1, 3, 2]. Agora, assim como defini que x₃ é igual a zero, eu quero definir que x₄ vai ser igual a -1. Eu posso fazer isso, porque, assim como x₃ é uma variável livre, x₄ também é uma variável livre. E o que seria - x₄? Ficaria menos -1. Isso é aqui tudo daria +1. +1, estou dizendo o quê? Que o x₁ vezes o vetor [1, 2, 3] mais x₂ vezes o vetor [1, 1, 4] é igual ao vetor [1, 3, 2], então, estou dizendo que x₁ mais x₂ é igual ao vetor [1, 3, 2], é igual a esse vetor bem aqui. Agora vamos lá, vamos pegar o que a gente descobriu sobre nosso espaço nulo. Nós descobrimos isso aqui sobre o nosso espaço nulo, deixa eu pegar aqui, vamos copiar e colar isso lá para baixo. Vou pegar isso aqui, vou copiar, vou colar lá embaixo, deixa eu rolar aqui a nossa tela. Nós descobrimos isso aqui sobre o espaço nulo. O que significa que a gente descobriu que x₁ é igual a -3 vezes x₃, menos 2 vezes x₄. x₂ igual a 2x₃ mais x₄. Se nosso x₃ vale zero e nosso x₄ vale 1, qual será o nosso resultado de x₁? x₁ vai ser igual -3 vezes zero, porque o x₃ vale zero, isso aqui vai dar zero, -2 vezes -1, porque o x₄ vale -1. 2 vezes -1 vai ficar valendo 2. -2 vezes -1, dá 2. E o x₂ vai ser igual a o quê? 2 vezes zero, que dá zero, mais -1. Então mais -1, x₂ vai valer -1. Eu estou dizendo que, nessas condições que eu tenho aqui, o meu x₁ vai valer 2 e o meu x₂ vai valer -1. Eu vou conseguir ter uma combinação desses dois vetores que vai dar esse vetor aqui. Eu estou dizendo que, se eu pegar o vetor x₁ e combinar com o vetor x₂, eu consegui uma combinação linear desse primeiro vetor com esse segundo vetor, que vai ter como resultado esse quarto vetor. A gente pode verificar isso, olha só. 2 vezes 1, dá 2, mais -1 vezes 1, dá -1. 2 menos 1 vai dar 1, 2 vezes 2 dá 4, menos 1 vezes 1, dá -1. 4 menos 1 vai dar 3, e 2 vezes 3, dá 6. -1 vezes 4, -4. 6 com -4 vai dar 2, ou seja, isso realmente está correto. Em ambos os três usamos as definições: variáveis livres e variáveis principais. Fomos capazes de mostrar a você de uma forma bem simples que esse quarto vetor aqui pode sair da combinação desses dois vetores. O eu consegui mostrar para vocês é que realmente esse quarto vetor é desnecessário, ele não acrescenta em nada para a gente no nosso subespaço. Ele não faz gerar o nosso subespaço porque a gente pode representá-lo como sendo a combinação desses dois. Agora, quero fazer a mesma coisa para esse terceiro cara aqui. Será que eu consigo mostrar que ele é a combinação desses outros dois vetores? Porque, se conseguir fazer isso, eu também não vou precisar dele. Vamos ver, então, vamos fazer o mesmo exercício e você pode escrever esse vetor como sendo a combinação desses dois vetores aqui. Eu vou fazer a mesma coisa, mas em vez de colocar o x₃ valendo zero e x₄ valendo -1, eu vou colocar o x₄ valendo zero porque eu não vou ter isso aqui. Eu quero eliminar essa parte aqui. Eu posso fazer isso, já que ele é uma variável livre. E eu vou colocar o x₃ valendo -1, vamos ver então. Se x₃ for igual a -1, vamos ver como é que vai ficar a nossa equação reduzida aqui. Nós vamos ter que x₁ vezes o vetor [1, 2, 3] mais x₂ vezes o vetor [1, 1, 4] vai ser igual a, o que a gente vai fazer aqui, é somar esse vetor dos dois lados. Então vai sobrar desse lado uma vez esse vetor. Vai ficar [1, 4, 1]. Agora a gente também pode, a partir disso, descobrir os valores de x₁ e x₂. Agora o x₄ valendo zero e o x₃ valendo -1. Então o x₁ vai valer -3 vezes -1, vai dar 3, esse aqui vai dar zero, então, x₁ vai valer 3. o x₂ vai valer 2 vezes -1 que vai dar -2 mais zero. Então x₂ vai valer -2. Da mesma forma, a gente pode conferir para ver se isso aqui vai dar certo. O x₁ a gente diz que vai valer 3, x₂ a gente diz que vai valer -2, e se a gente fizer, isso aqui tem que dar a mesma coisa. 3 vezes 1, dá 3 -2 vezes -1, -dá 2, 3 menos 2 vai dar 1. 3 vezes 2, dá 6 -2 vezes 1, dá -2, 6 menos 2 vai dar 4, e 3 vezes 3, dá 9, -2 vezes 4, dá 8, 9 menos 8, é 1. Você percebe que isso realmente vai dar a mesma coisa. Eu sou capaz de escrever esse vetor que está associado a essa variável livre como uma combinação desses dois vetores. Logo, a gente já pode se livrar dele no nosso conjunto. O que eu acabei de mostrar? Foi que esse cara aqui pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. Assim como esse cara aqui também pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. Assim, a gente pode escrever o nosso espaço gerado. A gente tinha dito antes, vamos escrever aqui que o nosso espaço coluna da matriz "A", a gente tinha dito que era o espaço gerado por esses quatro vetores. Eu poderia escrever isso como sendo um espaço gerado pelos nossos vetores colunas. A gente tinha quatro vetores colunas v₁, v₂, v₃, v₄. Mas a gente acabou de mostrar que esse v₃ e esse v₄ não fazem falta, eles podem ser escrito como uma combinação linear desses dois aqui. Então, a gente não precisa colocar o nosso espaço gerado. Na realidade, em nosso espaço coluna "A" vai ser o espaço gerado pelos nossos vetores v₁ e v₂. Eu posso dizer que vai ser o espaço gerado pelo vetor [1, 2, 3] e pelo vetor [1, 1, 4]. Agora, algum desses dois vetores são redundantes? Eu posso expressar um deles como a combinação linear do outro? Essencialmente, quando estou falando de uma combinação linear de apenas um vetor com outro vetor, eu estou me referindo a ele estar multiplicado por um escalar. Vamos pensar nisso. Existem várias maneiras que eu posso mostrar isso para você, mas o caminho mais fácil é eu ir de entrada direto para entrada. Por exemplo, 1, para chegar no 1, eu teria que multiplicar por 1. Mas se eu multiplicar 2 vezes 1 vai dar 2 e não 1, e 3 vezes 1 vai dar 3 e não 4. Vamos escrever esse meu raciocínio. Estou procurando algum escalar que quando multiplique por [1, 2, 3] que é esse vetor aqui, bom, eu sei que, se multiplicar por esse vetor, o resultado que eu vou ter é 1c, 2c e 3c. Eles serão múltiplos de "c". Eu quero que, de alguma forma, isso seja igual a esse meu vetor aqui. Então isso tem que ser igual a [1, 1, 4]. Quando a gente olha logo para a primeira entrada, a gente vai dizer que o "c" tem que ser igual a 1. Se o "c" for igual a 1, 1 vezes 1, aqui vai dar 1. Agora, se você olhar para essa segunda entrada aqui, o "c" tem que valer 1/2 porque de 2 vezes 1/2 que eu vou chegar no 1. Já tem uma contradição, o "c" não pode ser 1, nem 1/2. Assim como se a gente olhar para essa terceira entrada aqui, o "c" vai ter que valer 4/3, outra contradição. Não existe "c" que vá fazer isso. Não tem como ter escalar daqui que eu vou chegar aqui e a volta também vale. Não vai existir nenhum escalar aqui que vai fazer com que eu parta desse vetor e chegue aqui. Dessa forma, a gente consegue perceber que eles não são dependentes um do outro. Não existe uma combinação linear que dê certo. Talvez a gente consiga provar, de maneira mais formal, que esses dois vetores são linearmente independentes. Dado que esses dois vetores são linearmente independentes, a gente pode dizer que esses dois vetores, e acho que já deu para perceber por que eles são linearmente independentes. Acho que você conseguiu entender tudo que a gente falou. A gente pode dizer que esses dois vetores, [1, 2, 3] e [1, 1, 4], que esses dois vetores, pode-se dizer que eles são uma base para o espaço coluna de "A". São uma base para o meu espaço coluna da matriz "A". Agora vou finalizar o vídeo, porque eu acho que nós já passamos um bom tempo juntos. Mas o que eu vou fazer em alguns próximos vídeos é que, agora estabelecido que isso aqui é uma base para o espaço coluna "A", nós podemos tentar visualizá-lo porque a gente pode dizer que o espaço coluna "A" é igual ao espaço gerado por esses dois vetores aqui. É exatamente igual ao espaço gerado por esses dois vetores aqui, o vetor [1, 2, 3] e o vetor [1, 1, 4]. Podemos pensar quem é o espaço gerado por esses dois vetores. Nós vamos ver que eles são vetores e que estão em um plano R³. Isso é uma pequena revisão, eu já disse isso algumas vezes. Quando estou dizendo que isso aqui é uma base, eu estou dizendo que ambos esses caras aqui atravessam o espaço coluna "A". Quando eu tinha quatro vetores também, mas o que os torna uma base é que eles são linearmente independentes. Não há nenhuma informação extra ou vetores redundantes que podem ser representados por outros vetores dentro da base. Eles são linearmente independentes. É isso, até o próximo vídeo!