Mostrando que a base candidata produz o conjunto C(A)

RKA22JL - Há dois vídeos, a gente perguntou se poderia achar a base para o espaço coluna de uma matriz A. Daí, eu mostrei um método para fazer isso, que consistia em pegar a matriz e colocar na forma escalonada reduzida por linha. Então, essa matriz R que temos aqui nada mais é do que a forma escalonada reduzida por linha da minha matriz A, onde essa aqui é uma coluna principal, porque tem 1 e todos os outros termos são zero. Essa aqui também é uma coluna principal, onde eu tenho 1 que não está na mesma linha do que a coluna anterior e todas as outras entradas zero e essas aqui também. Vamos grifar as nossas colunas principais. Essas duas são colunas principais e essa aqui também é uma coluna principal da forma escalonada reduzida da matriz A. E, agora, basta olhar para as colunas correspondentes a essas aqui na nossa matriz original A. N nossa matriz original A os correspondentes serão essas duas primeiras colunas aqui e mais a quarta coluna aqui. Nós podemos chamar essas colunas aqui de a₁, a₂ e a₄, a primeira, a segunda e a quarta coluna. Essa aqui seria a₃ e, essa, a₅. E essas colunas aqui, a gente pode dizer que a₁, a₂ e a₄, essas colunas formam uma base para o espaço coluna de nossa matriz A. E eu não mostrei o porquê disso dois vídeos atrás. Eu apenas disse que você tinha que tomar isso como verdade. Agora, para que isso aqui seja verdade, duas coisas devem acontecer. Esses vetores coluna devem ser vetores linearmente independentes e eu mostrei, no último vídeo, que, pelo fato desses caras aqui, r₁, r₂ e r₄, serem linearmente independentes... Eles são linearmente independentes porque são colunas principais. Em cada coluna, há apenas um único espaço para o número 1 e não há como a gente fazer nenhuma combinação linear, porque eles são 1 e todas as outras entradas são zero. Então, eu não tenho como fazer nenhuma combinação linear alguma para que dê um outro resultado. Portanto, esses três vetores aqui, esses três vetores coluna, definitivamente são vetores linearmente independentes. Eu mostrei no último vídeo que, se nós sabemos que se esses vetores aqui são linearmente independentes, e nós sabemos que eles são, dado o espaço R, ele vai ter o mesmo espaço nulo que a matriz A. Nós sabemos esses caras são linearmente independentes. Eu mostrei isso no nosso último vídeo. Agora que nós demonstramos que isso aqui é verdade, a próxima exigência para que isso aconteça é mostrarmos que o espaço gerado... (vamos colocar aqui) ... é mostramos que o espaço gerado por a₁, a₂ e a₄, o espaço gerado por esses vetores a₁, a₂ e a₄, é exatamente a mesma coisa que o espaço coluna da nossa matriz A. O espaço coluna da matriz A é o espaço formado por todos esses 5 vetores aqui. Então, entram no espaço também o a₃ e o a₅. Então, para mostrar que esses três vetores aqui, somente esses três, geram todo o nosso espaço coluna, nós apenas temos que mostrar que o a₃ e o a₅ podem ser representados por uma combinação linear de a₁, a₂ e a₄. Então, se eu conseguir fazer isso, eu vou poder dizer que esses dois caras aqui são redundantes. Então, nós podemos dizer que o espaço gerado por a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ não precisa dos termos a₃ e a₅. Nós não vamos precisar desses dois termos, porque eles podem ser representados por uma combinação linear desses outros três aqui. Eles são termos redundantes. Então, se a gente se livrar desses dois caras aqui, a gente pode mostrar que o espaço gerado por esses três caras, que, obviamente, vai ser o mesmo espaço gerado por esses cinco, por definição, então, vai ser igual ao espaço coluna de nossa matriz A. Então, vamos ver como a gente pode fazer isso. Os nossos vetores coluna da matriz A são a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅, e os nossos vetores coluna da matriz escalonada são r₁, r₂, r₃, r₄ e r₅. Agora, nós vamos explorar novamente os nossos espaços nulos. Ou nem mesmo os espaços nulos. Vamos explorar apenas a equação da matriz A vezes o vetor “x”. Podemos representar o vetor “x” já como sendo os vetores com os elementos x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅. Esses vetores aqui devem ser iguais a zero. Isso é como nós definimos o conjunto solução disso ou todos os vetores potenciais aqui, que representam um espaço nulo. Dessa forma, também, podemos dizer que o vetor “r” vezes x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅, que agora, da forma escalonada reduzida, também tem que ser igual a zero. Agora, vamos reescrever isso. Como a gente pode reescrever essa multiplicação aqui? A matriz A é representada por esses vetores, dessa forma, então, teremos x₁ vezes o vetor a₁, mais x₂ vezes o vetor a₂, mais x₃ vezes o vetor a₃, mais x₄ vezes o vetor a₄ e mais x₅ vezes o vetor a₅. Tudo igual a zero. Da mesma maneira, vamos fazer isso para a matriz R. Se a gente multiplicou as colunas da matriz A pelo vetor “x” e chegou nisso aqui, vamos multiplicar agora as colunas r₁, r₂, r₃, r₄ e r₅ pelo vetor “x”. E aí, nós vamos ter x₁ vezes o vetor r₁, mais x₂ vezes o vetor r₂, mais x₃ vezes o vetor r₃, mais x₄ vezes o vetor r₄ e, finalmente, x₅ vezes o vetor r₅. Isso aqui tem que ser igual a zero. Agora, o que nós sabemos é que quando colocamos isso aqui na forma escalonada reduzida por linha, as variáveis associadas às colunas principais, às colunas fixas, são chamadas de variáveis principais, variáveis fixas. Então, posso dizer que as colunas fixas são r₁, r₂, e r₄, logo, as variáveis x₁, x₂, e x₄, são o que a gente diz como nossas variáveis fixas ou variáveis principais. Essas aqui são as nossas variáveis fixas. Da mesma forma, as variáveis associadas às colunas não principais, às colunas não centrais. No caso, r₃ e r₅, elas são chamadas de variáveis livres, então, x₃ e x₅ são o que a gente chama de variáveis livres. Essas variáveis são as nossas variáveis livres. E isso também se aplica para a matriz A. Todos os vetores que satisfazem essa equação aqui, todos os vetores “x” que satisfazem essa equação, também satisfazem essa equação aqui e vice-versa, porque eles são o mesmo espaço nulo, exatamente o mesmo conjunto solução. Então, nós também podemos chamar x₃ e x₅, podemos chamar essas variáveis de variáveis livres. E o que isso significa? Nós já fizemos vários exemplos disso. Essas nossas variáveis livres, a gente pode configurá-las como quiser, então a gente pode, por exemplo, dizer que x₃ e x₅ são quaisquer constantes, quaisquer constantes que pertencem ao conjunto dos números reais. Nós podemos defini-la, podemos definir como qualquer coisa. Podemos definir essas variáveis como qualquer coisa que pertença ao conjunto dos números reais. Em seguida, a partir da forma escalonada reduzida por linha, vamos expressar as variáveis fixas em função desses caras aqui. Podemos, por exemplo, dizer que x₁ é igual a uma constante “a” qualquer, vezes x₃, mais uma constante “b” qualquer, vezes x₅. O x₂ também podemos dizer que é uma constante qualquer x₃, mais uma constante qualquer “d” vezes x₅. E que x₄ é igual a uma constante “e” qualquer, vezes x₃, mais uma constante “f” qualquer, vezes x₅. Isso aqui vem diretamente da multiplicação desse cara aqui vezes esse cara aqui igual a zero. Você vai obter um sistema de equações em que poderá resolver suas variáveis fixas em função das suas variáveis livres. Agora, dado isso, eu quero mostrar que você sempre pode construir da sua matriz original... (vamos para a nossa matriz original aqui), você sempre pode construir na sua matriz original os vetores que estão associados às suas colunas livres como uma combinação linear dos seus vetores que estão associados às suas colunas fixas, às suas colunas principais. E como eu posso fazer isso? Bem, vamos dizer que eu queira encontrar alguma combinação linear que me leve a esta coluna livre aqui, que me leve a esta coluna aqui, ao a₃. Como eu vou poder fazer isso, então? Deixe eu reorganizar a minha equação aqui. Vamos ver o que eu consigo se eu subtrair x₃ vezes a₃ de ambos os lados dessa equação aqui. Então, se eu fizer isso, eu vou ter -x₃a₃, vai ser igual a x₁a₁, vetor a₁, aqui temos o vetor a₃, mais x₂ vezes o vetor a₂, o x₃a₃, a gente não vai ter, porque a gente subtraiu, mais x₄ vezes o vetor a₄ e mais x₅ vezes o vetor a₅. Tudo o que eu fiz com essa equação foi subtrair a₃x₃ de ambos os lados da minha equação e reescrever a equação. Agora, x₃ é uma variável livre. Nós podemos defini-la da forma que a gente quiser, e isso também serve para x₅. Então, eu vou dizer que x₃ é igual a -1, porque é uma variável livre, quero fazer o que eu quiser. Se eu definir x₃ como sendo -1, aqui vai ficar 1 positivo, então, vai ficar vezes a₃ e da mesma forma, eu quero definir x₅ como sendo igual a zero. E eu só fiz isso porque x₅ é uma variável livre e eu também posso defini-la da forma que eu quiser. E quando eu faço isso, então, esse termo aqui some. Agora, eu escrevi a₃ como sendo uma combinação linear do que, agora, posso chamar dos meus prováveis vetores de base a₁, a₂ e a₄. Eles são os nossos vetores da matriz original que foram associados com suas colunas centrais. Agora, a fim de mostrar que eu sempre posso fazer isso aqui, nós temos que mostrar que, para essa combinação aqui, sempre vai existir o x₁, x₂ e x₄, que vai satisfazer isso. E claro que sempre vai existir x₁, x₂ e x₄ que satisfaz isso. Nós só temos que substituir nossas variáveis livres aqui e encontrar quem são esses x₁, x₂ e x₄, basta substituir nesse sistema que a gente conseguiu a partir da forma escalonada reduzida feita na nossa matriz. Então, por exemplo, nesse caso, o x₁, eu posso dizer que é "a" menos "a", mais "b" vezes zero, então vai ser só menos "a", que x₂ vai ser igual a menos “c” vezes +"d" vezes zero, e assim por diante. Então você sempre vai poder fazer isso aqui. Você sempre vai poder escrever os termos que estão associados às suas colunas que não são centrais como uma combinação linear dos termos que estão associados às suas colunas principais e às suas colunas centrais. Então, o que fiz para o termo aqui, para o a₃, eu poderia facilmente ter feito para o a₅, bastava eu subtrair x₅a₅ de ambos os lados da equação, e aí, eu substituiria x₃ por zero e x₅ por -1. E aí, eu ia obter exatamente o mesmo argumento. Só que, aqui, teria a₅. Eu espero ter ajudado você ou ter feito você se sentir a vontade com a ideia de que esses vetores aqui, esses vetores que eu vou desenhar aqui na cor pink, que estão associados com as colunas que não são principais, com as colunas que não são livres, chamaremos essas colunas de colunas livres, ou as variáveis livres, no caso, x₃ e x₅ aqui, aqui também x₃ e x₅, elas podem ser expressas como uma combinação linear dessas colunas principais ou dessas variáveis principais, dessas variáveis fixas aqui. Por que o que você vai ter que fazer? Você só tem que manipular a equação de forma que o vetor livre que você vai tentando achar, você vai colocar como sendo -1, e todos os outros vetores livres, você vai colocar como sendo zero. Dessa forma, você vai conseguir ter uma combinação linear com os vetores que são fixos e esses vetores fixos darão essas variáveis, esses vetores aqui que não são fixos, os vetores livres. Então, dado isso, nós mostramos que, olhe, esses vetores livres aqui, esses vetores livres aqui, eu estou usando essa terminologia livremente, esses vetores livres, eles estão associados com essas colunas que não são principais e nós podemos expressá-los como uma combinação linear desses caras. Logo, esses vetores aqui são desnecessários. O espaço gerado por eles é equivalente ao espaço coluna da matriz A, e o espaço gerado por eles aqui também é igual ao espaço coluna da matriz A. Logo, esses três vetores aqui, esse espaço gerado, é o mesmo. Então, no último vídeo, eu mostrei que esses caras aqui são linearmente independentes e, agora, eu mostrei que o espaço gerado por eles é o espaço coluna da matriz A. Então, agora, você já deve estar satisfeito com o fato de que esses vetores aqui, eu vou desenhar esses vetores aqui na cor azul. Esses vetores que estão associados com as respectivas colunas aqui da forma escalonada reduzida da matriz A representam, de fato, uma base para o espaço coluna da matriz A. De qualquer forma, eu espero que você não tenha achado isso tão complicado. A gente se vê no próximo vídeo!