Comparação de números irracionais com radicais

RKA - Nós temos aqui seis números, dos quais cinco são irracionais, eles envolvem a raiz quadrada de números que não são quadrados perfeitos. E a nossa meta com este vídeo é verificar se conseguimos, sem calculadora, organizar estes números em ordem crescente. E eu sugiro que você pause o vídeo e veja se consegue fazer isso sozinho. Eu vou te dar uma dica, e a dica é que a raiz quadrada de dois é um vírgula alguma coisa, raiz quadrada de três também é um vírgula alguma coisa, e como é que nós vamos fazer para comparar estes números? Vamos começar pelo seguinte: vamos considerar um certo número a que seja maior que zero, ou seja, um número positivo, e vamos considerar que esse número a é menor que um outro número b, o que nos permite concluir que a elevado ao quadrado também é menor que b elevado ao quadrado. Ou seja, tem um número menor que o outro, positivos, todos positivos. Então, ao elevar a ao quadrado e b ao quadrado, o resultado do a ao quadrado é menor que o resultado do b ao quadrado. E a ideia agora é justamente aproveitar que estamos lidando com raízes quadradas e comparar não diretamente os números, mas os seus quadrados, ou seja elevar cada número ao quadrado para comparar depois, já que todos são positivos. Vamos começar por este aqui: vou elevar 4 raiz de 2 ao quadrado, ou seja, vou efetuar 4 raiz de 2 vezes ele mesmo. Já que é uma multiplicação, então eu posso trocar a ordem dos fatores sem afetar o produto, o resultado. Vou escrever 4 vezes 4 vezes a raiz de 2, vezes a raiz quadrada de 2, o que vai dar: 4 vezes 4 são dezesseis, vezes uma raiz quadrada vezes ela mesma vai dar simplesmente o número que está no radicando, que é 2. E isso finalmente resulta em 32. Para o 2 raiz de 3 vamos fazer exatamente a mesma ideia, mas eu vou escrever, para ir um pouquinho mais rápido, o 2 raiz quadrada de 3 elevado ao quadrado e trabalhar com isso, ou seja em vez de multiplicar ele por ele mesmo vou levar ao quadrado, e quando eu tenho um produto aqui nos parênteses, eu posso elevar cada fator ao quadrado, ou seja, terei dois ao quadrado vezes a raiz quadrada de três ao quadrado. Dois elevado ao quadrado resulta em quatro, vezes a raiz quadrada de três elevada ao quadrado resulta em três, ou seja, o resultado aqui é doze. Seguindo a mesma ideia, 3 raiz de 2 elevado ao quadrado, vou seguir os mesmos passos do exemplo anterior, três elevado ao quadrado, nove, vezes raiz quadrada de 2 elevado ao quadrado, dois, e nove vezes dois resulta simplesmente em 18. Vamos para o próximo. A raiz quadrada de 17 elevada ao quadrado... Bem, já sabemos que vai ser Dezessete. Agora, três raiz de três ao quadrado, vamos seguir a mesma ideia anterior, então, três elevado ao quadrado é nove, vezes a raiz quadrada elevada ao quadrado, cancela, três, e o resultado aqui é vinte e sete. Finalmente, eu tenho também que elevar este ao quadrado, cinco elevado ao quadrado é cinco vezes cinco, resultado 25. Agora só falta ordenar então do menor para o maior para obter a ordem crescente. Agora é só analisar, o menor número que nós temos aqui é o doze, mas não é para ele que vamos olhar, é para o 2 raiz de 3, doze é o quadrado de 2 raiz de3, Mas como só temos números positivos, comparar os seus quadrados e os números vai nos garantir a mesma ordem. Então, o primeiro deles é o 2 raiz de 3, o próximo número, dezessete, então a raiz quadrada de 17 é a próxima que aparece aqui. Próximo quadrado, na sequência é o 18, então o número em questão, 3 raiz quadrada de 2, depois de 18 nós temos o 25, 25 é o quadrado do cinco, é o cinco que nós vamos colocar aqui. Bem, na sequência nós temos então o número 27, o número 27 que é o quadrado do 3 raiz de 3, então aqui vem o 3 raiz quadrada de 3. E, finalmente, o 32, que é o quadrado do 4 raiz de 2, portanto 4 raiz quadrada de 2 é o último da lista. Colocamos então, sem a calculadora, em ordem crescente aqueles números que estavam acima. Usando os quadrados dos números positivos podemos organizar em ordem crescente estas situações que envolveram também números irracionais, a raiz quadrada de números que não são quadrados perfeitos. Até o próximo vídeo.