Função Quadrática

RKA4JL - Olá! Tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Nesta aula vamos conversar sobre a função quadrática. Mas antes de dar muito spoiler sobre esse tipo de função, vamos observar a seguinte situação-problema aqui. "O dono de uma loja de materiais esportivos deseja saber qual é o máximo valor possível que pode vender um skate para ter o maior lucro possível. O fornecedor informou que o custo do skate é de 100 reais. Em seguida, o proprietário da loja efetuou uma pesquisa de mercado que concluiu que o número de interessados para comprar um skate é dado por (500 menos x), sendo x o preço de venda. Isso significa que se os skates fossem doados gratuitamente, ou seja, onde x é igual a zero, haveria 500 pessoas interessadas neles. Note que ao aumentar o valor do skate, o número de pessoas interessadas em comprá-los diminui. De acordo com tais informações, determine uma maneira de obter o lucro da loja com a venda de x skates." Como podemos observar, estamos diante de uma função. Não se esqueça que uma função é uma espécie de relação entre duas ou mais variáveis, na qual quando uma variável, chamada independente, se altera, a outra variável, chamada dependente, vai se alterar em função da mudança da variável independente. Sabendo disso, nós podemos modelar a situação para encontrar a lei de formação da função que representa essa situação. Se x é o preço de venda do skate e 100 reais é o preço de custo do skate, o lucro obtido na venda de cada skate é dado por f(x) sendo igual a (x menos 100). Agora, de acordo com a pesquisa realizada e apresentada no enunciado do problema, o número de skates que podem ser vendidos é modelado por uma outra função, que vamos chamar aqui de g(x), onde g(x) é igual a (500 menos x). Como temos uma função que expressa o lucro do skate e uma função que expressa o número de skates que podem ser vendidos, temos que o lucro com a venda dos skates vendidos é expresso pelo produto entre essas duas funções, ou seja, temos que h(x), que representa o lucro obtido com a venda dos skates, é igual a f(x) vezes g(x). Como já temos f(x) e g(x), isso aqui vai ser igual a (x menos 100) vezes (500 menos x). Aplicando a propriedade distributiva, temos que isso aqui é igual a 500x menos x² menos 50.000 mais 100x. Isso aqui é igual a -x² mais... 500x mais 6x é igual a 600x, então temos 600x aqui, menos 50.000, ou seja, h(x) é igual a -x² mais 600x menos 50.000. Visto tudo isso, eu quero fazer uma pergunta: que tipo de função nós encontramos aqui? Pause o vídeo e pense um pouco sobre isso. Ah, mas antes disso é importante falar que esse x ao quadrado aqui tem uma importância muito grande nesse tipo de função. Então, sabendo disso pause o vídeo e pense um pouquinho. Pensou? Como eu disse, esse x² aqui tem uma importância muito grande nesse tipo de função. Ele indica para a gente que temos aqui uma função quadrática, também chamada de função do segundo grau ou função polinomial do segundo grau. Mas, enfim, vamos continuar pensando em nosso problema aqui. Agora que temos a nossa função, que tal a gente elaborar uma tabela com alguns valores diferentes de skates vendidos, e, através dessa função, saber se teremos lucro, prejuízo ou se ficaremos no zero a zero, ou seja, se não teremos nem lucro e nem prejuízo? Bem, vamos fazer isso aqui. Nessa tabela eu vou colocar três colunas. Na primeira eu vou colocar o número de skates vendidos, que representamos com a letra x. Na segunda eu vou colocar nossa função h(x), em que h(x) é igual a -x² mais 600x menos 50.000 e na terceira eu vou colocar a situação que teremos. Vamos terminar de montar a tabela aqui. Eu vou colocar cinco valores para x, então vamos precisar de cinco linhas. Vamos colocar aqui na primeira coluna os números de skates vendidos. Vou colocar aqui 50, 100, 300, 500 e 550. Agora vamos substituir cada um desses valores na função que está na segunda coluna e obter um resultado. Que tal você pausar o vídeo e tentar fazer isso? Fez? Vamos fazer isso juntos, agora? Na primeira linha temos h(50) e isso sendo igual a -50² mais 600 vezes 50 menos 50.000. Eu vou fazer esse primeiro aqui na calculadora, mas os demais eu vou apenas colocar o resultado, ok? Vamos lá. Pegando a calculadora aqui temos -(50²)... (Lembrando que o sinal de menos não está sendo elevado ao quadrado) mais 600 vezes 50 menos 50.000. Isso aqui é igual a -22.500. Então vou colocar aqui -22.500. Como o resultado do lucro deu negativo, isso significa que estamos tendo um prejuízo com esse número de skates vendidos. Agora vamos para a segunda linha. Teremos aqui h(100) sendo igual a -100² mais 600 vezes 100 menos 50.000. Realizando o cálculo, temos que isso é igual a zero, ou seja, não estamos tendo nem lucro nem prejuízo. Estamos no zero a zero. Agora na terceira linha temos h(300) sendo igual a -300² mais 600 vezes 300 menos 50.000. Calculando, isso aqui é igual a 40.000. Como o resultado obtido foi positivo, estamos tendo lucro com a venda desse número de skates. Na quarta linha temos h(500), e isso é igual a -500² mais 600 vezes 500 menos 50.000. Realizando o cálculo novamente temos um valor igual a zero, ou seja, não temos nem lucro e nem prejuízo com esse número de skates vendidos. Por último, na quinta linha temos h(550). Isso é igual a -550² mais 600 vezes 550 menos 50.000. Realizando o cálculo temos novamente isso aqui sendo igual a -22.500, ou seja, com esse número de skates vendidos temos prejuízo. Viu como essa função é muito útil para situações como essas? Mas o mais legal sobre as funções é que podemos representá-las em um gráfico no plano cartesiano. Por exemplo, nesse caso específico eu vou colocar aqui o plano cartesiano onde no eixo horizontal temos o número de skates vendidos, que representamos com a letra x, e no eixo vertical temos o nosso lucro, que representamos com a função h(x). Vou colocar aqui alguns valores no eixo horizontal, tais como zero, 100, 200, 300, 400, 500 e 600 e aqui no eixo vertical vou colocar valores negativos e positivos, começando aqui no zero. Aí no sentido positivo eu vou colocar 10.000, 20.000, 30.000, 40.000 e 50.000. Já no sentido negativo eu vou colocar aqui -10.000, -20.000, -30.000, -40.000 e -50.000. Feito isso, o que podemos fazer agora é relacionar os pares ordenados, ou seja, relacionar x com h(x) para cada valor de x e assim encontrar um ponto específico. Inicialmente com x igual a 50 temos que h(50) igual a -22.500. Então temos um ponto aqui. Mais ou menos aqui, na verdade. Agora, com x igual a 100 temos que h(100) é igual a zero, então temos um ponto aqui. Com x igual a 300 temos que h(300) é igual a 40.000, ou seja, o nosso ponto está aqui. Com x sendo igual a 500, temos que h(500) também é zero. Sendo assim, o nosso ponto está aqui. Por último, com x sendo igual a 550 temos que h(550) igual a -22.500. Então nosso ponto também está mais ou menos aqui. Se a gente colocasse diversos outros pontos atribuindo vários valores para x e encontrando a h(x), teríamos isso aqui. Repare que unindo todos os pontos possíveis para essa função encontramos uma figura geométrica. Essa figura encontrada é chamada de parábola. Ao percorrer essa parábola conseguimos ver facilmente onde temos prejuízo, onde temos lucro e onde não temos nem lucro e nem prejuízo. E um detalhe: também conseguimos encontrar qual é o valor de x para obter o máximo lucro possível. Repare que em x igual a 100 e em x igual a 500 não temos lucro e nem prejuízo. Para valores de x que estão nesse intervalo aqui, ou seja, para valores de x maiores que 100 e menores que 500, teremos lucro. Agora para qualquer valor de x que seja menor que 100 ou maior que 500, teremos prejuízo, pois encontraremos valores menores que zero para h(x). Perceba aqui também que quando x é igual a 300 temos o maior valor possível para h(x), ou seja, teremos o máximo lucro possível aqui com esse número de skates sendo vendidos. Conseguiu compreender tudo direitinho? Então, tudo isso que vimos aqui se refere à função quadrática. A função quadrática é uma função real que pode ser escrita da seguinte forma: f(x) igual a “ax² mais bx mais c”, com “a”, “b” e “c” sendo números reais e "a" sendo diferente de zero. Em nossa função que usamos como exemplo, "a" é igual a -1, mesmo ele não aparecendo explicitamente. "b" é igual a 600 e "c" é igual a -50.000. Enfim, espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui nesta aula e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e dizer que encontro você na próxima. Então, até lá!