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Gráficos de funções racionais: assíntotas verticais

Transcrição de vídeo

RKA - Assuma f(x) = g(x) sobre x² - x - 6, onde g(x) é um polinômio. Qual das opções a seguir é um gráfico possível para y = f(x)? Sendo que as linhas pontilhadas indicam assíntotas. Bem, como sempre, eu recomendo que você pause esse vídeo e tente resolver esse problema sozinho. Agora, vamos resolver juntos. Em primeiro lugar, ele nos dá g(x), mas não fala o que é exatamente esse g(x), apenas que é um polinômio. Então, isso não é muito útil no nosso caso. Uma informação que ele nos fornece, que pode ser muito útil, é x² - x - 6 aqui embaixo. Pois essa equação está no denominador. E, quando o denominador é igual a 0, nós encontramos tanto assíntotas verticais quanto descontinuidades removíveis. Então, vamos ver o que nós conseguimos fazer aqui com esse denominador. Em primeiro lugar, vamos tentar fatorá-lo. Então, pensamos: "Quais são os dois números que multiplicados dão -6, e quando somados, vezes -1, o resultado é -1?" Parece que esses dois números podem ser +3 e -2. Porque +3 vezes -2 é -6. +3 - 2 dá 1, vezes -1, dá -1. Ou seja, vamos reescrever esse denominador como uma expressão fatorada. Então, temos que a f(x) é igual ao polinômio g(x) sobre x - 3 vezes x + 2. A partir disso, nós podemos dizer que a função de x não está definida para x = +3 ou x = -2, pois o denominador não pode ser igual a 0. Essa informação é muito útil, pois, sabendo que x não pode ser igual a 3 ou -2, essa função será uma assíntota vertical ou descontinuidade removível em um desses dois valores. Logo, essa é a pista que vamos utilizar nos gráficos a seguir para descobrir qual é o possível gráfico para essa função: y = f(x). Na primeira, o item A, nós observamos aqui uma assíntota vertical com o valor de -2. Temos aqui -2. Porém, não observamos nenhum outro valor de x para o qual a função é indefinida. E, conforme descobrimos aqui, tem dois valores para os quais essa função não é definida, que é +3, que não existe aqui, e -2, que está aqui. Então, essa aqui provavelmente não é. Agora, o item B. Nós temos uma assíntota vertical aqui em -2 novamente, o que confere com a nossa situação inicial, e outra em +4. Veja aqui: +4. +4 também não confere com o que encontramos, deveria ser +3. Essa opção, portanto, não é válida. Vamos agora ao item C. Aqui nós temos uma assíntota vertical no valor de -2, o que confere com o que encontramos, e uma descontinuidade removível no valor de 3... Aqui provavelmente é 3. Então, isso parece ser uma opção aceitável. Nesse caso, f(x) = x - 3 sobre x - 3, anulando em cima e embaixo, restando uma coisa qualquer aqui, que eu sinalizei com um smile, sobre x + 2, que é a outra condição para a qual a função não existe, representando a assíntota vertical. Por fim, no item D, temos uma assíntota vertical no valor de -1, o que já não confere, e outra de +6. Também não confere. Ou seja, essa aqui é a nossa resposta.