Séries geométricas convergentes e divergentes (com manipulação)

RKA2G Temos aqui três diferentes séries geométricas e vamos discutir a respeito da sua convergência. Uma série geométrica converge, grosseiramente falando, quando é possível obter o valor da sua soma. Na prática, já vimos que ela converge, que conseguimos obter a soma da série geométrica, quando o módulo da razão é menor do que 1. Vamos analisar aqui esta série geométrica. Neste caso aqui, primeiro vamos lembrar que 5ⁿ⁻¹ é a mesma coisa que 5ⁿ sobre 5¹, porque, na divisão, eu posso conservar as bases e subtrair os expoentes. Reescrevendo lá em cima este trecho da expressão, eu tenho 5ⁿ sobre 5, vezes (9/10)ⁿ. Como 5ⁿ tem o mesmo expoente da fração, eu posso multiplicá-lo dentro dos parênteses. Ou seja, eu teria aqui 1/5. Estou separando o 5ⁿ da fração daqui e colocando lá dentro. 1/5 vezes, dentro dos parênteses, 5 vezes 9 no numerador sobre 10, tudo elevado ao expoente "n". O 5ⁿ veio para dentro dos parênteses aqui. O outro 5 não, porque não estava com o expoente "n". O fato é o seguinte: simplificando mais um pouquinho, esta expressão fica: 1/5 vezes (45/10)ⁿ. 45/10 é a razão da progressão geométrica, da série geométrica, porque é ele que está elevado ao expoente, de acordo com a definição dos outros vídeos. Este número é maior do que 1, portanto, esta série aqui diverge. Esta primeira série diverge. Vamos olhar para a próxima série. Vamos, também, trabalhar com esta expressão da somatória. Primeira coisa: o 9ⁿ⁺² aqui no denominador. Vamos lá, reescrevendo: (3/2)ⁿ, vezes... Eu vou separar aqui o que tem expoente "n" para juntar tudo lá. 9ⁿ⁺² é 9ⁿ vezes 9². Como este 9ⁿ tem o expoente "n", eu posso colocar dentro dos parênteses, então, eu teria: 3 sobre 2 vezes 9, tudo elevado a "n" (veja o 9ⁿ, eu coloquei aqui porque ele tinha o mesmo expoente), vezes 1 sobre 9². Resumindo aqui, trocando de ordem na multiplicação não muda nada, 1 sobre 9² = 81, vezes (3 sobre 18)ⁿ. Meu objetivo, de novo, foi separar quem estava elevado a "n" para identificar a razão. Neste, caso a razão é 3/18. Isso é menor do que um inteiro, portanto, esta série aqui converge. Vamos marcar aqui: converge. Vamos para a terceira série. Reescrevendo esta parte da somatória com o objetivo de separar quem aparece elevado a "n". Primeira coisa: multiplicação de frações. Eu vou multiplicar numerador por numerador. 2ⁿ vezes 1 = 2ⁿ, sobre 3ⁿ⁻¹. Eu posso separar o denominador, repetindo aqui 2ⁿ e, aqui, 3ⁿ vezes 3⁻¹. Melhorando mais um pouco, eu tenho: 2ⁿ sobre 3ⁿ, vezes (estou separando as duas frações) 1 sobre 3⁻¹. Veja, eu separei daqui. Aqui existia um "vezes 1". Só simplificando mais um pouquinho: 1 sobre 3⁻¹ é 3¹. Se você inverte a fração, o expoente troca de sinal. E esta outra parte aqui, eu posso colocar entre parênteses: (2/3)ⁿ. A razão, então, é 2/3 e 2/3 é menor que um inteiro, de modo que esta última série também converge. Por ora, o trabalho é este. Até o próximo vídeo!