Interpretação de valor absoluto como distância

RKA - A ideia neste vídeo é adquirir mais prática em situações que envolvem valor absoluto de números inteiros, positivos ou negativos. Vamos começar com esta. Quais das expressões a seguir são equivalentes ao módulo de A menos B? Qual ou quais destas aqui fazem sentido sendo correspondentes, sendo equivalentes a esta inicial? Nós temos aqui a seguinte situação: o que será ou, melhor dizendo, o que é o módulo de A? Vamos começar analisando aqui. O módulo de A é a distância do A até o 0. Ou seja, esta distância aqui é o que chamamos, ou podemos interpretar, como módulo de A, a distância do número A até o 0. Módulo de B, que é esta situação, é a distância, então, do B até o 0. Este aqui vai ser o módulo de B. A distância de B até o 0. Módulo de B. Módulo de A menos módulo de B. Módulo de A é todo este comprimento vermelho. Tirando, subtraindo o módulo de B vai sobrar exatamente esta distância que você vê agora em laranja. Isto aqui, nesta situação, é o módulo de A menos o módulo de B. Então, nesta situação em que temos aqui B... ...com o módulo menor que o de A... ...o módulo de A menos B corresponde ao módulo de A menos o módulo de B. Então, esta é uma expressão equivalente ao que tínhamos aqui. Você pode tentar verificar isso com alguns números. Por exemplo, B sendo - 2 e A sendo - 5, e verificar que, de fato, isto vai ser equivalente a isto aqui. Vamos verificar. Já que temos que verificar todas as que possivelmente satisfazem essa situação... Vamos verificar a segunda aqui. Nesta segunda, módulo de A mais módulo de B será equivalente a isto? Bem, módulo de A é esta linha vermelha. Módulo de B é o que temos em azul. Se eu fosse adicionar os dois, eu teria que reproduzir o módulo de B... ...aqui na continuação do módulo de A. E, o que eu teria, seria tudo isto como módulo de A mais B. Então, não pode ser equivalente ao módulo de A menos B. Portanto, somente a primeira é verdadeira. Não faz sentido a assinalar a última delas. Vamos aproveitar e fazer o teste com alguns números. Pelo que temos aqui, por exemplo, o A poderia ser o número - 5. Se o A for - 5, o B tem que ser maior que o A, porém também negativo. O B seria, por exemplo, - 1. Módulo de A menos B seria o módulo de - 5, que é o A, menos o - 1, o B é - 1. - 5 menos -1 é - 5 mais 1. Então, isso dá um módulo de - 4. E o módulo de - 4 é simplesmente 4. Isso é o módulo de A menos B. Deu 4. Vamos verificar o módulo de A menos o módulo de B. Seria o módulo de - 5 menos o módulo de - 1. Módulo de 5 é 5, menos, módulo de 1 é 1. 5 menos 1 também dá 4. Então, realmente satisfez o que nós já esperávamos aqui. Veja que estamos em uma situação particular no B aqui, e o A aqui. Muito bem, vamos checar agora módulo de A mais módulo de B. Módulo de A, módulo de - 5, mais módulo de B, módulo de - 1. Módulo de - 5 é 5, mais, módulo de 1 é 1. 5 mais 1, 6. Não faz sentido. Não bate com o que tínhamos aqui. Portanto, de fato, não poderia ser igual. Vamos ao próximo exemplo. Vamos verificar quais expressões abaixo são equivalentes ao módulo de A menos B. Módulo de A menos B, nós já vimos, é a distância entre A e B. E isso é representado por um número positivo. Módulo de A menos B seria isto aqui. E tem que ser um número positivo. Nessa situação, o A é menor que o B. Se o A é menor que o B... ...isto aqui, A menos B, só pode dar um resultado negativo. Portanto, não pode acontecer de ser equivalente ao módulo de A menos B. Aqui: - (B menos A). B menos A: B é maior que A. Portanto, B menos A é positivo. Entretanto, este sinal de menos faz com que o resultado final seja algo negativo. De maneira que nenhuma das anteriores é verdadeira. Vamos ao próximo. Vamos ver qual é a melhor interpretação para esta expressão. Na primeira, temos: a distância entre 11 e X... ...é igual à distância entre Y e 3. A distância entre 11 e X é exatamente o que temos aqui: o módulo de 11 menos X. A distância entre Y e 3 é exatamente o que temos aqui: módulo de Y menos 3. E esta aqui é uma opção, ou melhor, é a opção adequada para interpretar aquela expressão, aquela sentença matemática. Vamos verificar por que, por exemplo, esta segunda não é verdadeira. A distância entre 11 e - X é igual à distância entre Y e - 3. Distância entre 11 e - X. Vamos interpretar aqui. Distância, módulo da diferença entre os dois números. Entre 11 menos - X. Essa é a distância entre 11 e - X. É igual à distância entre Y e - 3. A distância entre Y e - 3, eu faço a diferença entre Y e menos - 3, e tomo o módulo: 11 menos - X é 11 mais X. Aqui, dentro do módulo, entre as barras do módulo. Do mesmo jeito que aqui Y menos - 3 corresponde a Y mais 3 em módulo. Isto não é o que está aqui. É completamente diferente. Então, esta interpretação não é coerente com a que tínhamos acima. A última afirmação também não faz sentido porque começa dizendo sobre a distância entre 11 e Y... Isso é um módulo de 11 - Y, não tem nada a ver aqui. Estamos falando da distância entre 11 e X, e a distância entre - X e - 3. Não pode ser essa também. Vamos para o próximo exemplo. Temos agora que dizer qual destas expressões corresponde à área do retângulo. Primeira coisa: lembrar que para calcular a área do retângulo basta multiplicar o comprimento pela largura, ou base por altura. Vamos analisar expressão por expressão. Começando aqui, pelo módulo de J menos L. O que é o módulo de J menos L? É a distância entre J e L, sendo J e L números. J está aqui. O que é J? J é a primeira coordenada. Portanto, a abscissa deste ponto, o J, seria correspondente ao - 6 nesse exemplo. O que é o L? O L é a asbcissa deste ponto. Então, seria o 6 positivo aqui. E o módulo de J menos L é o tamanho da distância entre o J e o L, que seria este tamanho aqui. Portanto, correspondendo à medida deste lado do retângulo. Ou seja, módulo de J menos L é a distância entre esses dois pontos. Portanto, a medida deste lado do retângulo. Falta agora analisar M menos Q. O que será M menos Q, módulo de M menos Q. M é a segunda coordenada aqui. Portanto, a ordenada deste ponto aqui é o número 4. O Q está aqui, é a segunda ordenada deste ponto. Coordenada deste ponto, perdão. Portanto, a ordenada dele seria este número: - 4. Módulo de M menos Q quer dizer a distância entre o M e o Q, a distância entre estes dois pontos, que é exatamente a mesma distância entre estes dois pontos. Portanto, a medida do outro lado do retângulo. Aqui temos, então: módulo de M menos Q. Para calcular a área do retângulo, nós podemos fazer este tamanho vezes este. Portanto, esta alternativa aqui é correta. Vamos agora verificar por que as outras opções não estão adequadas. Esta segunda opção, vamos começar por aqui. Módulo de J menos M: J está aqui. M está aqui. O módulo de J menos M é... Pensando na situação da área do retângulo, não nos ajuda em nada porque aqui é a abscissa um ponto, aqui é a ordenada de outro ponto. Não nos dá uma informação necessária para calcular a área desse retângulo. Portanto, a segunda está fora. Olhando para a terceira: começamos aqui com o módulo de J menos N. Vamos lá: o J está aqui, o N está aqui. E o J e o N, ambos, são - 6. Então, um número menos ele mesmo dá 0. Ou seja, isto aqui é zero vezes uma outra expressão. Vai resultar em 0, e área deste retângulo, óbvio, não pode ser 0. Observe que aqui, se ligamos este ponto com este ponto, nós alteramos, nós variamos somente o valor das coordenadas do eixo... das ordenadas do eixo vertical. Todas as abscissas, ou seja, as coordenadas do eixo horizontal continuam as mesmas quando nós trafegamos entre estes dois pontos. Portanto, mais uma vez, a variação que temos aqui é nula, é 0. Concluindo, a terceira opção também está fora. Por ora é só, até o próximo vídeo!