Transformação de polígonos

RKA - Olá, pessoal. Tudo bem? Aqui temos um plano cartesiano, e o plano cartesiano tem dois eixos. Temos aqui o eixo x, o eixo das abscissas, e o eixo y, o eixo das ordenadas. Todo ponto do plano cartesiano pode ser representado por um componente x e um componente y, nesta ordem aqui. O primeiro passo para representar o polígono é marcar seus vértices, então vamos fazer isso. Imagine um quadrilátero, e por isso ele tem quatro vértices. Estes daqui. Vértice "a", "b", "c" e "d". Agora basta ligar cada vértice. Aqui "a" com "b", "b" com "c" e "c" com "d". Temos aqui um quadrilátero, um polígono. Vamos anotar aqui a coordenada de cada um desses vértices. O "a" tem coordenadas (1,1), o "b" tem coordenadas (2, 1), e assim por diante. O "c" coordenadas (2, 2), e o "d" coordenadas (1, 2). O que vamos fazer agora? Agora nós vamos multiplicar esses valores e ver o que acontece. Então, 1 vezes 2, dá 2. 1 vezes 2, dá 2. 2 vezes 2, dá 4. 1 vezes 2, dá 2, e assim por diante. Então aqui temos (4,4), e aqui temos (2,4). Como são outros pontos, eu vou dar outros nomes, então: "e", "f", "g" e "h". Agora vamos multiplicar por outro valor, como vezes 3. Então, vamos fazer aqui. Então, 1 vezes 3, 3. 1 vezes 3, 3. E assim por diante. Temos (6, 3), temos (6, 6) e temos (3, 6). Então são outros pontos, continuamos aqui: "i", "j", "k" e "l". Agora vamos representar esses pontos em amarelo e esses pontos em roxo, ok? Então vamos lá: (2, 2). O (2, 2) acabou coincidindo com o "c", tá? Vamos marcar aqui. Esse aí é o nosso ponto "e". (4, 2) fica bem aqui, (4, 4) fica bem aqui, e (2, 4), bem aqui. Então aqui temos "e", "f", "g" e "h", e agora é só ligar. Vamos ligar aqui, aqui, aqui e o "g" com o "h". Pronto. Veja, formou outro polígono. Em uma posição diferente, e em um tamanho diferente. Vamos marcar o roxo, agora. O roxo é o (3, 3). Aqui é o primeiro ponto. Esse daqui é o ponto "i", (3, 3). (6, 3), temos o ponto "j". (6, 6), temos o ponto "k" e (3, 6), temos o ponto "l", nosso vértice "l". Agora, vamos ligar todos os vértices. Vamos analisar isso? Meu critério para analisar vai ser o tamanho da aresta, então o tamanho da aresta, o tamanho do perímetro e a área. Então vamos analisar isso daqui. Para esse polígono aqui em azul claro, qual é o tamanho da aresta? Veja, o tamanho da aresta é 1, então vamos marcar aqui, 1. Qual é o tamanho do perímetro? O perímetro é só somar o valor das arestas, são 4. Então, 4 vezes 1, 4, ok? E o tamanho da área, por ser um quadrado, é lado vezes lado. Então, 1 vezes 1, é 1. Vamos para o próximo: Aqui em amarelo, temos o tamanho da aresta, 2. Temos o tamanho do perímetro, 2, 4, 6, 8. E temos a área, 2 vezes 2. Então temos a área igual a 4. Vamos para o próximo: Aqui em roxo, o tamanho da aresta é 3, 6, 9, 12. Perímetro 12. E a área, 3 vezes 3. 3 vezes 3 é 9. Então agora vamos analisar. O que eu quero que você observe? Que o aumento da aresta... Primeiro, que o aumento do vértice, é acompanhado pelo aumento da aresta e o aumento do perímetro. Porque, daqui para cá, nós duplicamos. E com a aresta aconteceu a mesma coisa, o valor duplicou, ok? E o perímetro também duplicou. Daqui para cá, nós triplicamos, e aconteceu a mesma coisa. De um para três, o valor triplicou. De 4 para 12, o valor também triplicou. Só que isso não ocorre na área. O que acaba acontecendo na área? Em vez de duplicar e triplicar, isso daqui quadruplicou e isso daqui ficou nove vezes maior. Então, como podemos ler isso? Como a área é uma dimensão bidimensional, é uma medida bidimensional, então elevamos isso daqui ao quadrado, ok? É o aumento da aresta ao quadrado. Porque, para a composição da área, nós consideramos a multiplicação de 2 arestas, e é por isso que temos esse resultado aqui. Então, se fôssemos pensar em quadruplicar esses valores, podemos prever aqui quanto a área vai medir. A área vai medir 4², que é 16, e assim por diante. Agora eu quero mostrar mais um exemplo para vocês. Vamos desenhar este polígono aqui. Então temos o "a", "b", "c" e "d". Vamos ligar "d" com "a", "a" com "b", "b" com "c" e "c" com "d". Novamente, vamos anotar aqui: "a", "b", "c" e "d". O ponto "a", coordenada (1,1); "b", (3, 1); "c", (3, 4); "d", (1, 3). Novamente vou multiplicar o valor do vértice, só que agora eu vou multiplicar por um número negativo. Então vai ficar assim: eu vou chamar os pontos resultantes de "a" linha, "b" linha, "c" linha e "d" linha. 1 vezes - 1, -1. 1 vezes -1, -1. Aqui fica: (- 3, - 1), (- 3, - 4) e (- 1, - 3). Vamos desenhar esse polígono aqui. Então, (- 1, - 1), fica aqui. (- 3, - 1), fica aqui. Então vamos marcar. Esse daqui é o "a" linha, este daqui é o "b" linha. (- 3, - 4). Aqui, este é o "c" linha. E (- 1, - 3). este daqui é o "d" linha. Agora é só ligar os vértices. Vamos traçar as arestas aqui, "b" com "c", "c" com "d" . O que eu quero que você note aqui? Eu multipliquei por um número negativo. E a figura, ela estava no primeiro quadrante, o polígono estava posicionado no primeiro quadrante, e por eu ter multiplicado por um número negativo, esse polígono veio parar aqui, no terceiro quadrante. Vamos ver o que acontece se eu multiplicar um valor de um polígono que está aqui? Então vamos testar isso daqui, no terceiro quadrante. Vamos chamar de "e", "f" e "g". Vamos marcar aqui: "e", "f" e "g". Coordenadas "e": (- 1, 1), coordenadas "f" (- 1, 3), e coordenadas "g" (- 3, 1). Vamos multiplicar agora por - 2. Então vamos gerar o "e" linha, "f" linha e "g" linha. - 1 x - 2 = 2 - 1 x - 2... opa 1 x - 2 = - 2 - 1 x - 2 = 2 - 6 - 3 x - 2 = 6 1 x -2 = - 2 Vamos marcar: (2, - 2), este é o nosso ponto "e" linha. (2, - 6), esse é o ponto "f" linha. E (6, -2), este daqui é o ponto "g" linha. Agora basta conectar os vértices. Pintamos aqui. Vértice "e" com "f", e "g" com "e". Note: o polígono mudou de quadrante novamente. Então, o que podemos concluir? Que se multiplicarmos por um número negativo, o polígono irá parar no outro quadrante que está na posição diagonal. Então, se está no 1, vem aqui para o 3. Se está no 2, vem para o 4. Aqui, nesse segundo exemplo, ainda multiplicamos por um valor diferente de 1, e por isso que além de mudar de quadrante, a figura ampliou. Outra coisa que você pode perceber, é que ela rotacionou. Ela não está na mesma posição. É como se eu tivesse virado esse polígono aqui de ponta-cabeça, rotacionando ele sentido anti-horário. Bom, pessoal. Então era isso que eu queria mostrar para vocês nesse vídeo: como representar um polígono e o que acontece quando multiplicamos seus valores. Espero que você tenha gostado do vídeo e nos vemos na próxima aula. Até mais!