Demonstração da fórmula da série aritmética finita por indução

RKA1JV Vamos considerar a função S(n) que é o resultado da soma de todos os inteiros positivos. De 1 até o "n", incluindo o "n". Por exemplo, estamos falando aqui de S(3) igual a 1, mais 2, mais 3 que daria 6. O S(4) seria 1 mais 2, mais 3, mais 4, que dá 10, e assim por diante. O que nós queremos provar aqui neste vídeo é que para um certo "n", se eu somar 1 mais 2, mais 3, até o "n" inteiro positivo, o resultado vai ser o "n" multiplicado pelo "n + 1", tudo isso dividido por 2. Para provar esta afirmação, nós vamos usar a indução matemática. Para usar a indução, nós precisamos, em primeiro lugar, definir uma base de indução, o que chamamos de base de indução. Depois, propriamente, nós vamos usar a hipótese de indução para poder desenvolver a demonstração. A base de indução significa provar que esta ideia é válida para um valor inicial, nós vamos considerar aqui o 1. Poderia ser 50, poderia ser qualquer outro número, mas como aqui estamos falando de números inteiros positivos iniciando, portanto, em 1, vamos pegar o primeiro deles, que é 1. Depois, nós vamos usar a hipótese de indução. O que significa a hipótese de indução para depois fazer uma passagem para indução? Significa assumir que esta soma, o S(k) é válido, é verdadeiro, e provar que o S(k + 1), aplicado a "k + 1" é verdadeiro. Fazendo isso, conseguindo isso, nós conseguimos provar por indução que esta fórmula é verdadeira para a soma dos "n" primeiros números inteiros positivos. Traduzindo um pouco a ideia, vamos pensar o seguinte: temos os inteiros positivos 1, 2, 3, 4, 5, e assim por diante. A primeira coisa, a base de indução, nós vamos comprovar que a proposta que está aqui nesta fórmula é válida para 1. Provamos para 1, no momento da hipótese de indução, nós vamos verificar que se é válido, supondo que seja válido para um certo "k", que nesse momento seria 1, conseguindo provar que vale para o "k +1", então, se vale para 1, vale para 2. Ora, valendo para 2, vale para o "k + 1" que seria 3, se vale para 3, vai valer para o 4 e assim infinitamente. Vamos mostrar aqui a base de indução, vamos verificar quanto é o S(1), S(1) é 1 e pronto, não tem mais nenhum outro número inteiro até o próprio 1. Então, S(1), já sabemos que, pela definição da função, vale 1. Vamos mostrar que a fórmula aqui é válida para S(1). Vejamos, no lugar do "n" colocando 1, nós teríamos 1 vezes (1 + 1), tudo sobre 2, 1 mais 1 dá 2, que cancelando com 2 dá 1, quer dizer que realmente esta fórmula vale quando colocamos 1 no lugar do "n", a base de indução está demonstrada. Agora, nós vamos usar a hipótese de indução, vamos ver que assumindo que o S(k) é válido, é verdadeiro, essa fórmula sendo válida para um certo valor de "n", nós vamos ter que mostrar que ela também vale, a partir dali, para um "k + 1". Vamos assumir que aquela fórmula é verdadeira para um certo valor de "n" que eu vou chamar de "k". Estamos assumindo que a fórmula é verdadeira para "k", ou seja S(k) é igual a "k" vezes "k +1", tudo sobre 2, e vamos ter que pensar um pouco sobre o que vai acontecer se tivermos, em vez de "k", "k +1", ou seja, o que vai acontecer com S(k +1). O S(k +1) significa pegar os números, pela definição da função, 1 mais 2, mais 3, mais 4, mais "k", mais "k + 1". Todos os números inteiros somando até quem? O "k + 1", antes do "k + 1", temos o "k". Vamos interpretar um pouquinho o que está acontecendo aqui. Se você analisar este pedaço, estas parcelas dessa soma, o que temos? A soma de 1 até "k" é exatamente o que temos aqui em cima, então, isto aqui é igual a "k" vezes "k + 1" sobre 2. Isso nós já estamos admitindo que seja verdadeiro porque partimos da base de indução. Ainda temos que, a isto, adicionar o "k + 1", estou reescrevendo, mais o "k + 1". Bem, agora vamos manipular algebricamente para ver o que temos. Tínhamos aqui "k (k+1)" sobre 2, mais, vamos achar o MMC que é 2. Fazendo ajuste, multiplicando o numerador e denominador por 2, fica 2 (k + 1) sobre 2. Na próxima passagem, nós vamos ter, continuando aqui, uma única fração sobre 2. Todo aquele numerador k (k + 1), mais 2 (k + 1), tudo sobre 2. Se você observar com algum cuidado, é possível colocar o "k + 1" em evidência, fatorando essa expressão. Nós teríamos aqui, colocando o fator "k + 1" em evidência, nós vamos tê-lo multiplicando por "k" aqui do primeiro, mais 2, tudo isso sobre 2. Para destacar, vamos lembrar este 2 é este 2, e este "k" é este "k". Reescrevendo aqui, isso fica sendo igual a "k + 1" vezes, o "k + 2", eu vou transformar em "(k + 1) +1", isso é o "k + 2", sobre 2. O que temos de interessante aqui? Ora, você pode observar que queríamos o S(k + 1), estávamos assumindo que esta expressão era verdadeira, de fato, se eu trocar o "k" pelo "k + 1", nesta expressão aqui, o "k" transforma-se em "k + 1". E o "k + 1", antes era "k", "k + 1", este "k" tem que virar "k + 1", ele está aqui e mais 1. Ou seja, acabamos de provar que o S(k + 1) é válido de acordo com esta fórmula. Se vale para "k", genericamente, generalizando, vale também para "k + 1", estamos comprovando que é verdade, então, vale para qualquer "n". Nós demonstramos, nós mostramos que a base de indução estava correta, essa fórmula valia para um certo valor inicial que foi 1. Depois, acabamos de provar que ela vale, assumindo que ela vale para um certo "k", soma de todos inteiros de 1 até "k", incluindo. Ela também vale para o "k + 1", quando nós fizemos todo esse trabalho aqui. Estamos prontos, a prova por indução funciona desta maneira. Voltando para os números, veja. Percebemos, fizemos as contas e verificamos que funciona para 1. Assumindo que funciona para o 1, já sabemos que é verdade, fizemos as contas e vimos que funciona para o próximo inteiro que é para o 2. Se funciona para o 2, vai funcionar para o "k + 1", para o 3, o próximo inteiro, e se funciona para 3, funciona para 4, funciona para 5, e assim infinitamente. Desta forma, então, funciona para todos os inteiros. Espero ter ajudado você com a demonstração por indução. Até o próximo vídeo!