Aplicando a regra da cadeia graficamente 1 (antigo)

Considere as funções f e g com os gráficos mostrados abaixo. Se G maiúsculo de x é igual a g minúsculo de f minúsculo de x, qual é o valor da derivada primeira de G maiúsculo em 2,5? Então G de x é uma composição de g e f. É g de f de x, ou g minúsculo de f de x. Não temos o gráfico de G de x aqui. Temos apenas os gráficos de g minúsculo de x e de f de x. Este é o gráfico de f minúsculo de x. Este é um gráfico de g minúsculo de x. Então vamos pensar em como podemos calcular isto e depois verificar se nos deram as informações corretas aqui. Deixe-me reescrever várias coisas que já nos disseram. Já nos disseram que G maiúsculo de x é igual a g minúsculo de f de x. Se quiséssemos derivar G maiúsculo de x -- e queremos pensar no que a derivada de G maiúsculo de x é, pois queremos calcular a derivada em x igual a 2,5. Então vamos fazer isso. Vamos derivar ambos os lados disto. Se derivarmos do lado esquerdo, teremos G linha de x. E derivando o lado direito, uma vez que temos uma composição de duas funções, aplicamos a regra da cadeia. Então teremos a derivada de g em relação a f. Podemos escrever isso como g linha de f de x, vezes a derivada de f em relação a x. Vezes f linha de x. Se quisermos calcular o que é G linha em 2,5 , então em todo lugar que virmos um x aqui, temos que inserir 2,5. Vamos tentar fazer isso. G linha de -- vou fazer em branco para destacar -- G linha de 2,5 será igual à g minúsculo linha de f de 2,5 vezes f linha de 2,5. Vamos pensar sobre o que isso nos dará. O que é f de 2,5? Bem, quando x é igual a 2,5 -- deixe-me pegar uma cor que você possa ver melhor. Quando x é igual a 2,5, nossa função aqui é igual a um. Sabemos que f de 2,5 é igual a um. Deixe-me escrever isso, f de 2,5 é igual a um. E também precisamos descobrir o que é a f linha de 2,5. Então f -- deixe-me escrever desta forma - - f linha de 2,5 é igual à. O que é f linha de 2,5? Isto é essencialmente a inclinação da linha tangente à função quando x é igual a 2,5. Então é realmente a inclinação bem aqui. Pelo menos nessa parte da função, temos uma reta. E a inclinação é na verdade bem fácil de se identificar. Se quiséssemos ir deste ponto para este aqui -- estou pegando estes pontos porque eles coincidem com coordenadas de números inteiros -- vemos que para cada três que andamos, subimos dois, ou que elevamos dois para cada três que corremos. Nossa variação em y sobre a variação em x é 2/3. Então a inclinação da função ali é 2/3. Então isto é igual a 2/3. Podemos substituir aqui atrás, f de 2,5 é igual a 1. E isto bem aqui é igual a 2/3. Não terminamos ainda. Temos que calcular: o que é G linha em um? Quando x é igual a um, esta é a função g. Não estamos calculando g em um. Estamos procurando a derivada de g em um. Então qual a inclinação da reta aqui? Bem, nossa variação em y sobre nossa variação em x é 2/1. Se andamos um na direção horizontal, andamos dois na direção vertical. Variação em y sobre variação em x é 2/1. Então g linha -- deixe-me escrever isso -- g linha de um é igual a dois. Então o cálculo disso tudo dá dois. Isso simplifica -- deixe rabiscar isso -- se simplifica a dois vezes 2/3, que é igual a 4/3. Poderíamos escrever G linha de 2,5 é igual a 4/3. Isso é um problema bem interessante, pois não chegamos a ver a verdadeira definição da função de G de x. Mas somente usando a regra da cadeia e a informação que recebemos, descobrimos o valor dessa derivada quando x é igual a 2,5. Legendado por: [Sérgio Fleury] Revisado por:[Luiz Marangoni]